P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

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数据范围：

• \(1 \le N,K \le 10^5\)
• \(1 \le A_i \le 10^5\)

解题思路

前缀和 + 模运算

1. 区间 \([i,j]\) 的和 = \(pre[j] - pre[i-1]\)
2. 若该区间和是k的倍数，则满足 \((pre[j] - pre[i-1]) \bmod k = 0\)，即 \(pre[j] \bmod k = pre[i-1] \bmod k\)
3. 用数组统计每个余数出现的次数，遍历过程中累加对应余数的计数，即可得到总区间数
4. 初始化余数0的计数为1，处理前缀和本身就是k倍数的情况

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)，仅遍历一次数组，常数级操作
• 空间复杂度：\(O(K)\)，开辟长度为k的计数数组

代码实现

    int n,k,x;
    LL ans=0;
    cin>>n>>k;
    vector<int>cnt(k,0);
    cnt[0]=1;
    LL pre=0;
    rep(i,0,n){
        cin>>x;
        pre=(pre+x)%k;
        // 累加当前余数已出现的次数
        ans+=cnt[pre];
        cnt[pre]++;
    }
    cout<<ans<<endl;

易错点总结

1. 用long long存储

2. 初始化cnt[0]=1，漏掉会少算前缀和本身为k倍数的区间