约瑟夫问题

问题描述

现有N(N+1)/2 个人围成一圈，编号从1到N(N+1)/2，其中编号i与编号i+1的人相邻，编号N*(N+1)/2与编号1相邻。如今，我们要执行N-1个阶段的杀人仪式，在第一个阶段开始前，从编号为1的人开始报数。在第i阶段中，报到n+1-i这个数的人要被杀害，之后从被杀害者的下一个相邻的人开始从1开始报数，在第i个阶段里需要杀死i个人，随后即可进入下一个阶段，更具体地说：
在第1个阶段中，报数为N的人会被杀害，在这个阶段中需要杀死N个人；
在第2个阶段中，报数为N-1的人会被杀害，在这个阶段中需要杀死N-1个人；
……
在第n-1个阶段中，报数为2的人会被杀害，在这个阶段中需要杀死2个人。

仪式结束后，会剩下一个幸存者，请问这位幸存者的编号是多少？

输入格式

第一行一个整数T，表示数据的组数。
接下来T行，每行一个整数N，N定义如题目所述。

输出格式

输出一个整数，表示幸存者的编号

输入样例：

3
1
2
3

输出样例：

1
3
2

数据范围

20%数据，1<=n<=100，T <=10
40%数据，1<=n<=100,000，T<=10
100%数据，1<=n<=5,000,000，T<=100000

代码

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+7;
const int T=1e6+6;
int n,a[T];
long long f[N];
inline int read() {//fastread
    int x = 0,f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
long long odd(long long n, long long size, long long v)
{
    long long last, advan, a, b;
    last = (n-1) * (n+1) / 2;
    if(last + v < size)
        return last + v;
    v -= size - last - 1;
    for (last=v; ; last=advan+v)
    {
        a = last /n, b = last / (n+1);
        advan = a+b;
        if(advan+v == last)
            break;
    }
    return last;
}

long long even(long long n,long long size,long long v)
{
    long long last, advan, a, b, s=n/2;
    last = n * n / 2;
    if(last+v <= size)
        return last+v;
    v -= size - last;
    for(last=v; ; last=advan+v)
    {
        a=last/n,b=a;
        if(last>=(b+1)*n-(s-b))++b;
        advan = a + b;
        if(advan+v==last)
            break;
    }
    return last;
}

int main()
{
    freopen("josephus.in", "r", stdin);
    freopen("josephus.out", "w", stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),a[0]=max(a[0],a[i]);
    f[1]=1;
    for(long long i=2; i<=a[0]; i++)
    {
        if(i&1) 
            f[i]=odd(i,i*(i+1)/2,f[i-1]);
        else 
            f[i]=even(i,i*(i+1)/2,f[i-1]);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) cout<<f[a[i]]<<endl;
    return 0;
}