细说简单莫队
看来看去，似乎已经好久没有写博客了，今天终于是抽出空来，讲一讲莫队。
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莫队算法的基本介绍
在信竞得路上，我们时常遇到一些题目让我们求解一段区间里的颜色个数有多少啊，这个区间内的最大值是多少啊？诸如此类的问题常常让我们这些菜鸡束手无策，所以莫队算法横空出世！
莫队算法是由莫涛提出的算法。在莫涛提出莫队算法之前，莫队算法已经在 Codeforces 的高手圈里小范围流传，但是莫涛是第一个对莫队算法进行详细归纳总结的人。莫涛提出莫队算法时，只分析了普通莫队算法，但是经过 OIer 和 ACMer 的集体智慧改造，莫队有了多种扩展版本，想什么待修莫队之类的。
离线算法
什么是离线算法呢，简单来说就是先把所有的输入都输入后，在进行这些输入的一定的规律来进行时间复杂度更加低的运算，运用这样的算法除了我们今天要学习的莫队以外，还有像CDQ分治，整体二分等等。
正片——莫队算法
思路
首先对于一个区间 \([l,r]\) 它是可以 \(O(1)\) 扩展到 \([l+1,r],[l,r+1]\) 等的位置，那么如果我们把现在所要查询的区间按照这样的规律进行排序，那么我们是不是就可以节省重新计算的时间了？
换句话说，就是在排好序后若 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\) 在一组的话，那么 \([l_2,r_2]\) 就是可以把一部分的答案从 \([l_1,r_1]\) 一步一步暴力的转移过来的。
如果这样进行转移的话，我们就可以在 \(\cal{O(n\sqrt n)}\) 的时间复杂度内完成计算。
处理
如何排序
我上述的内容都是建立在已经对要处理的区间进行排序的前提下的，所以我们接下来考虑的就是要怎么排序。
首先一定是对左端点进行排序，然后按照右端点的长短从小到大排序，这是没有问题的对吧。
又因为要保证事件复杂度为 \(\cal{O(n\sqrt n)}\) ，所以我们在绝大部分的时候是要把左端点按照 \(\sqrt n\) 的长度进行分组，也就是是说当 \(\frac{l_1}{\sqrt n}=\frac{l_2}{\sqrt n}\) 的时候，就代表 \(l_1\) 和 \(l_2\) 是同一组的，此时就按照右端点排序，否则按照左端点排序。
struct Node{
int l,r;
};
k=sqrt(n);
bool cmp(const Node a1,const Node a2){
return a1.l/k==a2.l/k?a1.r<a2.r:a1.l<a2.l;
}
如何分块
但是这里要注意一个点，如果每次都是将块长分为 \(\sqrt n\) 的话，在有些时候是不对的，或者说是不优秀的，如下：
我们设 \(m\) 为询问次数，\(n\) 为总长度，当 \(m\) 和 \(\sqrt n\) 同阶的时候，最优的时间复杂度应该是 \(\cal{O (n)}\) ，但是如果此时把块长设为了 \(\sqrt n\) 的话，就会导致时间复杂度为 \(\cal{O (n\sqrt n)}\)
对于此，我们可以进行如下的分析我们设块长度为 \(S\)，那么对于任意多个在同一块内的询问，挪动的距离就是 \(n\)，一共 \(\displaystyle \frac{n}{S}\) 个块，移动的总次数就是 \(\displaystyle \frac{n^2}{S}\)，移动可能跨越块，所以还要加上一个 \(mS\) 的复杂度，总复杂度为 \(\displaystyle O\left(\frac{n^2}{S}+mS\right)\)，我们要让这个值尽量小，那么就要将这两个项尽量相等，发现 \(S\) 取 \(\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m}}\) 是最优的（证明见附[1]），此时复杂度为 \(\displaystyle O\left(\frac{n^2}{\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m}}}+m\left(\frac{n}{\sqrt{m}}\right)\right)=O(2n\sqrt{m})=O(n\sqrt{m})\)。
示范代码
int lim=sqrt(n);
bool cmp(const Node a1,const Node a2){
return a1.l/lim==a2.l/lim?a1.r<a2.r:a1.l<a2.l;
}
sort(v+1,v+1+m,cmp);
int nowl=1,nowr=0,tot=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
int l1=v[i].l,r1=v[i].r;
while (nowl>l1){
nowl--;
update():
}
while (nowr<r1){
nowr++;
update();
}
while (nowl<l1){
update():
nowl++;
}
while (nowr>r1){
update();
nowr--;
}
}
莫队的优化
我们来看下面这组的数据
1 1
2 100
3 1
4 100
我们假设块长为2，那么发现他来来回回跑了300次左右，这是因为他在不同的块中反复移动，那么我们这里就可以采用莫队的玄学优化方法——奇偶性优化！
奇偶性优化指的是对于奇数块的询问，\(r\) 从小到大排序，对于偶数块排序，则按照 \(r\) 从大到小进行排序。这样的话，可以让程序快30%左右！
bool cmp(const Node a1,const Node a2){
if (a1.l/k==a2.l/k){
if (a1.l/k&1)return a1.r<a2.r;//a1.l/k&1 等价于 (a1.l/k)%2==1
else return a1.r>a2.r;
}else return a1.l/k<a2.l/k;
}
例题
题目传送门——小Z的袜子
这题是比较裸的，可以直接上莫队，关键就是要推出转换的关系。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int INF=5e4+10;
struct f{
ll l,r;
ll id,len;
}v[INF];
ll a[INF],k,tot,cnt[INF];
ll ans1[INF],ans2[INF];
bool cmp(const f a1,const f a2){
return a1.l/k==a2.l/k?a1.r<a2.r:a1.l<a2.l;
}
void add(int x){
cnt[a[x]]++;
if (cnt[a[x]]>=2)
tot+=cnt[a[x]]*(cnt[a[x]]-1)-(cnt[a[x]]-1)*(cnt[a[x]]-2);
}
void del(int x){
cnt[a[x]]--;
if (cnt[a[x]]>0)
tot-=(cnt[a[x]]+1)*(cnt[a[x]])-cnt[a[x]]*(cnt[a[x]]-1);
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
k=sqrt(n);
for (int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
for (int i=1;i<=m;i++){
cin>>v[i].l>>v[i].r;
v[i].len=(v[i].r-v[i].l+1);
v[i].id=i;
}
sort(v+1,v+1+m,cmp);
int nowl=1,nowr=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
int l1=v[i].l,r1=v[i].r;
while (nowl<l1){
del(nowl);
nowl++;
}
while (nowl>l1){
nowl--;
add(nowl);
}
while (nowr<r1){
nowr++;
add(nowr);
}
while (nowr>r1){
del(nowr);
nowr--;
}
if (tot==0){
ans1[v[i].id]=0;
ans2[v[i].id]=1;
}else {
ll A=tot,B=v[i].len*(v[i].len-1);
ll g=__gcd(A,B);
ans1[v[i].id]=A/g,ans2[v[i].id]=B/g;
}
}
for (int i=1;i<=m;i++){
cout<<ans1[i]<<"/"<<ans2[i]<<endl;
}
return 0;
}
我们知道均值不等式指 \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) ，那么对于 \(\displaystyle \frac{n^2}{S}+mS\) 有 \(\displaystyle \frac{n^2}{S}+mS \ge 2\sqrt{\displaystyle \frac{n^2}{S}\times mS}=2\sqrt{n^2m}=2n\sqrt{m}\)
那么等号当且仅当 \(\displaystyle \frac{n^2}{S}=mS\) 的时候取到，解这个方程得到 \(S=\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m}}\) ↩︎
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