模意义下的乘法逆元

逆元定义： 若 \(a * x \equiv 1 (mod\) \(b)\), 则x为a在模b意义下的乘法逆元
用途：代替除法

求逆元的四种情况：

• 1.扩展欧几里得

• 2.快速幂（费马小定理）

• 3.线性递推

• 4.阶乘情况下的线性递推

一.扩展欧几里得(exgcd)

需要\(a,b\)互质，但是当\(b\)不是质数时也能使用

exgcd:求 \(ax + by = gcd(a, b)\)的整数解

令\(gcd(a, b) = 1\),则\(ax + by = 1\)

可改写为\(ax \equiv 1 (mod\) \(b)\)

故只需求解\(ax + by = 1\) 的一组解

求解方法：

令\(G = gcd(a, b)\)

对\(a, b\)实施一步辗转相除：

设\(x_2\),\(y_2\)满足：\(bx_2 + (a\) \(mod\) \(b)y_2 = G\)

又\(a\) \(mod\) \(b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * b\)

代入得：\(bx_2 + ( a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * b)y_2 = G\)

整理得： \(ay_2 + b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * y_2) = G\)

比较得 \(x = y_2, y = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * y_2\)

故只需求出\(x_2,y_2\)即可求出\(x, y\)

同理，再次实施辗转相除，设出\(x_3\),\(y_3\)即可求出\(x_2,y_2\)

以此类推，直到辗转相除得\(a = G\), \(b = 0\)，此时\(x_n = 1, y_n = C\) (通常取C = 0);

故可存储辗转相除得各步骤中a, b得值，再倒序依次求出\(x_n\), \(x_{n - 1}\) ... \(x_1\), \(x\)

可用递归或栈实现

代码：

int x, y;
void exgcd(int a, int b){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a / b) * y;
}

二.快速幂

结论最好记的方法，需要b为质数

费马小定理：若p为素数，a为正整数，且a, p互质，则有 \(a^{p-1} \equiv 1 (mod\) \(p)\)

所以将其带入逆元定义式可得 \(x = a^{p - 2}\), 可使用快速幂求出x

代码：

ll mul(ll x, ll y){
	ll res = 1;
	while(y){
		if(y & 1){
			res *= x;
			res %= mod;
		}
		x *= x;
		x %= mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}
int main(){
	ll x = mul(a, p - 2);
	printf("%d", x);
	return 0;
}

三.线性递推

可以求一连串数在模p意义下的乘法逆元
递推式：
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p
推导过程：
设 \(p = k * i + r\) 表示p除以k等于i余r

则该等式可改写为 \(k * i + r \equiv 0\) \((mod\) \(p)\)

两边同乘\(k^{-1} * i^{-1}\)可得 \(i^{-1} \equiv -k * r^{-1}\) \((mod\) \(p)\)

将\(k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor\), \(r = p\) \(mod\) \(i\)代入可得

\(i^{-1} \equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor * (p\) \(mod\) \(i)^{-1}\) \((mod\) \(p)\)

inv[1] = 1;
printf("1\n");
for(int i = 2; i <= n; i++){
	inv[i] = (p - (p / i)) * inv[p % i] % p;
	printf("%lld\n", inv[i]);
}

四。阶乘情况下的线性递推

可以求一连串阶乘的逆元，在组合数中十分常用

递推式为：(需倒推，可先求出最大值)
inv[p] = inv[p + 1] * (p + 1) % p

推导非常简单：
$(i + 1)!^{-1} \equiv (i + 1)!^{-1} \((mod\) \(p)\)

两边同乘\(i + 1\), 得：

\((i + 1)!^{-1} * (i + 1) \equiv (i!)^{-1} (mod\) \(p)\)

inv[MAX] = mul(j[MAX], mod - 2);
for(int i = MAX - 1; i > 0; i--){
	inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

应用补充：有理数取余

题目：P2613

求 \(\frac{a}{b}\) 模p的值，可令\(c = \frac{a}{b}\)即等同于求满足\(x \equiv c (mod\) $x) $

模意义下的除法应写作逆元形式，即\(x \equiv a * b^{-1} (mod\) $x) $