2024 Summer mx Trainning

vjudge 题单

7.14 Day -2

也是出门了，东营没有高铁，坐绿皮车坐了 \(8\) 个小时，到了北京。怎么刚下火车就出期末考试成绩的？全死了，不想提。。晚上去了水立方鸟巢那里，奥林匹克公园吧，薛之谦还有演唱会在那。

7.15 Day -1

上午出发去了地坛，主要是看了课本里史铁生写的我与地坛片段想去看看啥样，实际上没啥嘛，公园也不大，还挺热的。中午去了大悦城，买了点谷子（我超，结束乐队）。下午去天坛。感觉比地坛好多了，种了好多树！都得好几百年的老树了。至于里面的景点倒是没啥看的，人太多也太热了，在公园里倒是挺舒服的。

晚上就去学校了，好惨啊，晚上九点发手机十点交手机还不能把电脑带回去，管这么严的。~~还好我自有妙计~~

7.16 Day 1

怎么会有人模拟赛的时候电脑死了啊？硬盘坏了。。拿去修了。。

太蠢了怎么一个都不会做？补了 T1 和 T3。

T1 CF425E Sereja and Sets 首先贪心地，肯定是按照左端点从小到大排序，选右端点最靠左的这样子。设 \(f_{r,c}\) 表示当前最靠右的右端点是 \(r\)，并且选了 \(c\) 条。从 \(r,c\) 转移 \(r',c+1\) 时，考虑两种情况，一种是左端点在 \((r,r')\) 右端点在 \(r'\) 的线段，这种必须选的；另一种左端点同理，右端点大于 \(r'\)，可选可不选。处理转移系数即可。

具体一点的话，右端点在 \(r'\) 的线段有 \(r'-r\) 条，其他的有 \((n-r')\times (r'-r)\) 条。必须要选一条用来贡献到 \(c+1\)，其他的随便选，反正都会被去重，所以转移系数是 \((2^{(r'-r)}-1)\times 2^{(n-r')(r'-r)}\)。减一就代表着必选。

T3 CF1371F Raging Thunder 这个有点太蠢了，我一点都没思考，我不知道是不是电脑炸了搞我心态了，还有可能是太困了？不会应该不至于吧。总之是 \(\texttt{>}\) 看作 \(0\)，\(\texttt{<}\) 看作 \(1\)，然后线段树维护区间极长 \(000111\) 串即可，还有区间翻转也是容易的，不过写起来感觉恶心，讨厌 DS。

7.17 Day 2

上午是专题练习，下午讲的树上问题。还有薛之谦新歌哦，守村人，好听的。

CF906C Party

这个就直接状压就好了。

设 \(f_S\) 表示让集合 \(S\) 里的人成为朋友的最少次数，初始每个人各自的朋友集合答案为 \(1\)。

转移就先枚举集合 \(T\)，再枚举 \(x\in T\)，设朋友集合为 \(a_x\)，那么 \(f_{T|a_x}=\min(f_{T|a_x},f_T+1)\)。

mx 没搬输出方案，我也就没写。应该随便写的吧。

CF757D Felicity's Big Secret Revealed

仔细算一下的话，你的最大值不会超过 \(20\)，所以可以状压，设 \(f_{i,S}\)，表示上一次选在第 \(i\) 个数前，选用的数字集合为 \(S\)，转移比较简单，统计答案直接统计那些 \(S=2^x-1\) 即可。

ARC171D Rolling Hash

究竟如何想到的啊？可能是我根本就不会 hash 吧。

正常我们求字串 hash 值都是用前缀相减：

\[hash(l,r)=pre_r-pre_{l-1}\times B^{r-l+1} \]

而模 \(P\) 与 \(0\) 同余就意味着：

\[pre_{l-1}\times B^{r-l+1}\equiv pre_r\pmod P \]

这样显然不好操作。而如果转为后缀的话：

\[\begin{aligned} suf_l&=\sum\limits_{i=l}^nA_i\times B^{n-i}\\ suf_{r+1}&=\sum\limits_{i=r+1}^nA_i\times B^{n-i}\\ hash(l,r)&=B^{r-n}(suf_l-suf_{r+1}) \end{aligned} \]

于是：

\[hash(l,r)\equiv 0\pmod P\Rightarrow suf_l\equiv suf_{r+1}\pmod P \]

巧妙地规避了 \(B\) 的限制。我们可以直接在 \(l_i\) 和 \(r_i+1\) 之间建边，对于一条边的两个端点并不能染成同种颜色，最多 \(P\) 种颜色，问能否合法染色。

注意到 \(n+1\) 也是要建出来的，虽然没有这个后缀。因为第 \(n+1\) 个点限制了与之有边相连的点颜色种类数最多只有 \(P-1\) 种，因为都不能和 \(n+1\) 相同，如果认为 \(n+1\) 没有实际意义，就不要这个点了，那么如果其他点连来连去搞出 \(P\) 种颜色，就爆了。

P4359 [CQOI2016] 伪光滑数

最大的伪光滑数一定是所有质因子都相同。易证。那么把 \(128\) 以内的质数的所有小于 \(N\) 的次幂都放到一个大根堆里，每次取出堆顶，删去一个最大的质因子（只剩一个则不删，因为会破坏 \(a_k^k\le N\) 的限制）加入一个小的（注意不一定是次小的），直到 \(K\) 次。不过说实话很容易就弄重了，没搞懂怎样严谨，感觉不如开个 set 去重。。

CF1709E XOR Tree

显然路径异或和就是端点到根异或和的异或和，并且我们一定是有合法的修改方案的，因为值域是很大的，不过我也不会严谨证明。
接着贪心地从下往上考虑修改每一个点，这样比从上往下能影响到的点更多。
设每个点到根的异或和为 \(d_i\)，当前是点 \(u\)，且子树内有两个点 \(x,y\)，若 \(d_x\operatorname{xor}d_y\operatorname{xor}a_u=0\)，那直接不用管这棵子树了，并且答案加一。具体地用 set 启发式合并即可。

CF293E Close Vertices

这个很套路，先点分然后二维数点，不过也确实学到了。没啥好说的。

7.18 Day 3

又是啥也不会的一天啊，妈的，暴力咋还写挂了？？
也没咋补题，自闭了。

只补了 T1 发牌姬（card）：

每个 \(1\) 之间间隔 \(m-1\)，然后第一个 \(1\) 前面有 \(b\) 个 \(0\)。先判断一下每个串内的间隔，然后只保留前后缀。接着对于每个前缀 \(pre_i\)，向 \(m-1-suf_i\) 连边，这样 \(m\) 个点，跑欧拉路径就行了，起点是 \(b\)。不过似乎是欧拉回路，不知道为啥。

7.19 Day 4

又是专题训练，下午讲的连通性，最友好的一集，讲的就一个没做过。

CF965E Short Code

建 trie 树，然后相当于每个串结尾是一个黑点，可以把黑点往上移，不能重叠，最小化深度和。直接 dfs，每个点用大根堆维护子树里面黑点深度和，贪心地把最深的往上移，回溯时合并到父节点。由于黑点只有 \(\mathcal{O}(n)\) 个，所以复杂度单 \(\log\)。

CF653E Bear and Forgotten Tree 2

先判断 \(1\) 的度数最多可以为几，不足 \(k\) 则无解。
接下来考虑 bfs，搜出有几个连通块，假设有 \(x\) 个，如果 \(x\le k\) 是有解的，否则无解。为保证复杂度可以用 std::set 存储没有访问过的点，走到后删除，不会分析复杂度，但是能过。

CF1260E Tournament

朋友是最后一个人的话不用管，否则必选最后一个人。他可以帮我们干掉 \(\frac{n}{2}-1\) 个人。如果这时候朋友排名大于 \(\frac{n}{2}\)，就结束了；否则应该在这些人中挑出一个人，而这个人能干掉 \(\frac{n}{4}-1\) 个人......依此类推，我们只需要在从后往前的每个 \(2\) 的次幂出去一个后缀最小值就好了，注意不能重复，用优先队列即可。

CF623B Array GCD

有点厉害。

我们设整个序列最后的 \(\gcd\) 为 \(d\)。假设知道了 \(d\)，那么设有序列 \(c\)。

\(a_i\bmod d=0 \Rightarrow c_i=0\)。
\((a_i+1)\bmod d=0 \operatorname{or}\ (a_i-1)\bmod d=0\Rightarrow c_i=B\)。
\(\operatorname{otherwise}c_i=-1\)。

然后分为两种：

没有 \(-1\)：

没有删除的硬性要求，所以先算上整个序列的 \(\sum c_i\)，然后求一个 \(A-c_i\) 的最小子段和加上就好了。

有 \(-1\)：

找到 \(c_i=-1\) 的最左端和最右端，这段是一定要删的；之后在尝试向前或向后延申即可，具体用前缀和后缀和即可。

然后这是知道 \(d\) 的做法。注意到 \(m<n\)，那么枚举 \(a_1,a_1+1,a_1-1,a_n,a_n+1,a_n-1\) 这 \(6\) 个数的质因子作为 \(d\)，再利用上述方法计算即可~

CF1088E Ehab and a component choosing problem

发现 \(k>1\) 一定不优，所以第一问就是最大子树和。

第二问直接树形 dp，求出有多少个连通块大小等于第一问答案就可以了，注意第一问的输出要乘上第二问答案。

7.20 Day 5

模拟赛前三题咋都不会啊，第二问相邻三个的结论没看到，还好 T4 放的是和之前那个点分治几乎一样的题目，就多了个边双缩点，还只是一维偏序。爆肝两个半小时好歹是写出来了。

下午听讲也呼呼大睡，困死了。除了模拟赛题没讲别的，就随便看了看高维前缀和，有空单独写一个吧。

晚上可以带电脑回去，因为是周六，爽！

7.21 Day 6

休息日。虽然赵明建不让我出去，在宿舍玩也很爽！电脑还复活了。总之就是玩了一整天。

7.22 Day 7

比赛又是，犯困。。也只补了 T1。

A. 资源分配（resource）

这个直接贪心就可以了，按照 \(b_i\) 从大到小。用 set 维护一下还没用过的数的连续段。吐槽一下一开始写的用过的数，TLE。于是请教李泓毅，他说维护连续段，然后我就维护用过的数的连续段，这个是合并，细节较多，一直在挂。后来他说要是他写他就维护没用过的数，写了一遍过了。。

下午讲的 2-SAT，感觉建图还得练啊。。晚上全用来补 T1 和写这个 jb 博客了，没做下午的题。

这里是后来补的：

P6378 [PA2010] Riddle

设 \(in_i\) 表示选择点 \(i\)，\(ex_i\) 表示不选。对于一条边 \((u,v)\)，连边 \(ex_u\to in_v\)，\(ex_v\to in_u\)。对于每一部分中的任意两点 \(i,j\)，连边 \(in_u\to ex_v\)，\(in_v\to ex_u\)。其实这样是至多选一个，但注意到假如一个都不选，我们随便选一个就行了，因为边的限制是至少，所以不影响。

不过这样子边数就爆炸了。考虑前后缀优化建图。对于每个点，新建出 \(pre_i,suf_i\)。在每个部分内，\(pre_i\to i,suf_i\to i,pre_i\to pre_{i-1},suf_i\to suf_{i+1}\)，这样边数下降到 \(\mathcal{O}(n)\)，再跑 2-SAT 即可。

7.23 Day 8

训练赛。ds 场。

P1712 [NOI2016] 区间

居然放这个。这个之前看过，但是没写。一开始还写假了/ll。
把区间按照长度从小到大排序，然后选的一定是连续的一段，双指针就好了，线段树维护区间最大值，用来看有没有一个数被覆盖了 \(m\) 次。

有一个细节是，其实有可能是两段拼起来的，不过这样加上中间的那些也不影响答案，这里不赘述了。代码里可能选了少于 \(m\) 段就算答案了，实际上这样一定不优，所以也不影响。

CF854E Boredom

二维数点就做完了，纯唐。

CF1696D Permutation Graph

ST 表维护最大最小值和位置，直接最值分治就好了。还有一种线性的做法，考虑从全局最大值或者最小值开始，每次肯定跳到下一个最低或最高的点，然后维护前缀后缀 \(\max\) 和 \(\min\) 就行了。

P9130 [USACO23FEB] Hungry Cow P

考虑线段树，首先要维护区间的 \(res\) 表示答案。显然没法直接合并，于是再维护一个 \(rem\) 表示剩下多少，\(num\) 表示区间里有多少天吃到了。后两者都可以 \(\mathcal{O}(1)\) pushup，而 \(res\) 需要单侧递归的技巧进行计算。有些细节是第一次算的时候很可能右儿子是空的可是当前有剩余，处理的方法是计一个 \(val\) 表示左子区间对右子区间的贡献，直接调用这个；还有就是递归到叶子时，如果有剩余，就直接返回编号，否则返回 \(res\)，不过这个好像很显然/qd。

7.24 Day 9

模拟赛。

T1 就纯纯分讨，讨论了 1h，过了。T2 不会，以为自己打了 60pts，结果挂到 20pts。T3 听懂了没写，T4 没听懂，哦，T2 也没补。

下午讲反演，感觉豁然开朗，单独写了。

7.25 Day 10

擅长给自己树敌/fendou。

上午还是训练赛。只做了三道。下午没老师给我们讲课，就听着隔壁的直播，十分模糊，不好评价。不过也只讲了专题。看了一下午那个 CF17C，完全没看懂。。无语了。

CF1234F Yet Another Substring Reverse

CF1556E Equilibrium

CF1316E Team Building

不写了。

CF17C Balance

是否有些困难，看了一下午。

设 \(f_{i,a,b,c}\) 表示考虑到原串的第 \(i\) 位，其余记录的是答案串里的对应字母个数。

考虑转移，怎样才能不重不漏？我们实际上是枚举在答案串中下一个数填什么，那么就有两种可能，一种是当前字符复制，一种是后面字符复制过来。

记 \(nex_{i,0/1/2}\) 表示当前位置（包括）的下一个对应字母的位置，这样就把两种情况变成了一种情况。于是转移就是从 \(i\) 转移到 \(nex_{i,0/1/2}\)，并让对应字母个数加 \(1\)。

为什么只转移到 \(nex\) 呢，这样是防止算重。字母只加 \(1\) 也是为了防止算重。

7.26 Day 11

今天真 tm 唐完了。。

昨天睡太晚了，导致今天困得要死，上午模拟赛完全没法思考。下午讲前三题也没听，呼呼大睡，只听了第四题，发现是简单题，不知道为啥不会。

T4 前六十分就是暴力 dp，妈的，noip2023 重现？？然后发现把 \(p\) 和 \(1-p\) 互换不影响答案，可以递推了。特殊处理 \(p=\frac{1}{2}\) 的情况就行了。

下午也没讲，看了看同余最短路，写了那个子集反演的例题，实际上就是太摆了吧？状态真的不行，啥都不想干。。。。。emo

7.27 Day 12

模拟赛又又又犯困，一个题都没做，直接摆了。讲题也没听懂，今天困难场。

下午讲 ACAM。

P3041 [USACO12JAN] Video Game G

比较简单。建出 ACAM，考虑 fail 树的性质：如果一个串出现了，其结尾节点在 fail 树上的祖先一定也出现了。bfs 过程中，把当前节点的 fail 的结尾标记累加到当前节点。

接着 dp。设 \(f_{i,j}\) 表示输入了 \(i\) 个字符，并且走到了 ACAM 的第 \(j\) 号节点时的答案。转移顺着 trie 图的边转移就好。最后答案为 \(\max f_{k,i}\)。注意 dp 数组初值应为负无穷。

CF163E e-Government

也不难。

先建出 ACAM 和 fail 树。依然考虑 fail 树的性质，同上题。先考虑修改。一个节点会对其子树内所有节点产生贡献，那么只需要在结尾节点做一个子树修改。查询也就很简单了，只有单点查询。那么直接用一个 BIT 就做完了。

7.28 Day 13

耶耶耶又放假啦。但是凭什么宿舍插座不给充电？离谱 mx。上午随便睡到九点，玩了玩手机，下午来机房摆了。晚上还有晚自习。。

7.29 Day 14

今天感觉困难场，要不是 T3 数据弱我真没分了。

T1 CodeChef - FINDINGSUM

首先第一步转化是关键的，然而我完全想不到。想到了也不会插板法。

\(\sum|A_i-B_i|=\sum\max(A_i,B_i)-\sum\min(A_i,B_i)=\sum\max+\sum\min-\sum\min=2m-2\sum\min\)

设 \(s=\sum\min\)，则 \(0\le s\le m\)，所以可以先枚举一个 \(s\)。之后 \(A,B\) 的具体值就不重要了，只考虑 \(|A-B|\) 即可。

第一步是 \(n\) 个非负整数的和为 \(S\)，根据插板法就是 \(\binom{n+s-1}{n-1}\) 种方案。

之后分配剩下的 \(m-s\)。分为两种情况：\(A_i>B_i\) 和 \(A_i\le B_i\)。先枚举大于的位置数量
\(x\)，然后分别用插板法解决是 \(\binom{m-s-1}{x-1},\binom{n-x+m-s-1}{n-x-1}\)，还要乘上 \(\binom{n}{x}\)。

复杂度 \(\mathcal{O}(nm)\)。答案为：

\[ans=\sum\limits_{s=0}^m\sum\limits_{x=0}^n(2m-2s)^2\binom{n+s-1}{n-1}\binom{n}{x}\binom{m-s-1}{x-1}\binom{n-x+m-s-1}{n-x-1} \]

T3 [ABC219F] Cleaning Robot

神秘题。

首先讲个笑话：梦熊数据跑 \(25\) 次就能过。

哎哎，简单写写吧。

先把第一遍模拟了，记录所有不重复的点，然后记最后的点为 \((a,b)\)。那其实所有点都在一条斜率为 \(\frac{b}{a}\) 的直线上移动。直接把刚才记录的点按照这个分类，再算一下每两个点之间有多少不在第一遍里的点即可。注意如果某个点不存在同类点，也就是每类最后一个点，要额外加上 \(k\)，原因显然。注意负数取模和下取整与向零取整的问题。

T4 CF1732E Location

暂时没写，大分块/kel

7.30 Day 15

上午训练赛感觉比较杂吧，不好说。

CF1675G Sorting Pancakes

dp。就一个状态设计，\(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个一共有 \(j\) 个，第 \(i\) 个有 \(k\) 个。想到了就做完了，可能再加一个后缀 \(\min\) 优化。

Interesting Trip - HackerRank

完全不会的题，yx 教的，拜谢 yx。

那直接引用 yx 的话吧：

到达不了 T 的点爬
记 f[u] 表示 u~T 字典序最小的路径的字符串
考虑把 f 倒着插入 trie, 每次转移是选一个 trie 上的节点加一个儿子作自己的 f
对于比较, 维护树上倍增的 hash 值, 倍增求出最长公共前缀比较之
找出最优转移.
n+m log n

比较唐的一点就是把 f[j-1][u] 写成了 f[u][j-1]，调到三点多。

P10668 BZOJ2720 [Violet 5] 列队春游

其实比较容易。

\(i-pre_i\) 相当于 \(i\) 前面有几个严格小于它。那么把贡献均摊，每个 \(j\) 的贡献就是 \(1\)。

考虑每个 \(h\) 获得的贡献。设有 \(s\) 个比它小的 \(h'\)，那么把剩下的 \(n-s\) 个数拎出来，他们是等价的，那些小于 \(h\) 的数也是等价的。于是有 \(n-s+1\) 个空隙，产生贡献的期望就是 \(\frac{1}{n-s+1}\)。再乘上 \(h\) 的个数累加即可。

7.31 Day 16

模拟赛 T1 放爆搜什么意思啊，但是一个地方没开 ll 挂了一半分/qd。

T1 CF448E Divisors

没啥好说的，搜就行了。

T3 Positions - CodeChef

如果把能满足条件的数对之间连边，那么只需要把在一个 scc 中的数排序，然后按原来的相对位置输出即可。但是这样边数爆炸。设 \(T=2^{20}-1\)，那么把每个 \(a_i\) 向 \(a_i\oplus T\) 连边，也就是向补集连边。之后把小于 \(T\) 的每种状态都向子集连边。当然不可能向所有子集连边，于是只向去掉一个 \(1\) 的子集连边即可。注意边的方向不能改也不能建双向边。

下午讲博弈论，题没太在线，也没做。感觉这东西真的很神秘啊。