Graham扫描法 --求凸包

前言：

首先，什么是凸包？ 
假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图： 

然后，什么是凸包问题？ 
我们把这些点放在二维坐标系里面，那么每个点都能用 (x,y) 来表示。 
现给出点的数目13，和各个点的坐标。求构成凸包的点？

 

 

Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n) 
思路：Graham扫描的思想和Jarris步进法类似，也是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，但它不是利用夹角。 
 
步骤：

1. 把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
2. 把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
3. 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。 
   （以上是准备步骤，以下开始求凸包） 
   以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
4. 连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
5. 如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
6. 当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
7. 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

最后，栈中的元素就是凸包上的点了。 
以下为用Graham扫描法动态求解的过程： 

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct point
{
    long long  x;
    long long  y;
} P[50005],S[50005];  //P 中存点，S模拟栈存凸包的点；

long long  xx;
long long  yy;

// 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。
bool cmp(struct point a,struct point b)
{
    if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))
        return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));
    return a.x<b.x;
}

//叉积判断点的位置
long long  CJ(long long  x1,long long  y1,long long  x2,long long  y2)
{
    return (x1*y2-x2*y1);
}

long long Compare(struct point a,struct point b,struct point c)
{
    return CJ((b.x-a.x),(b.y-a.y),(c.x-a.x),(c.y-a.y));
}


int main()
{
    int n,i,j;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int top = 1;
        yy = 1000000+5;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&P[i].x,&P[i].y);
            if(P[i].y<yy)
            {
                yy = P[i].y;
                xx = P[i].x;
                j = i;
            }
        }
        P[j] = P[0];
        sort(P+1,P+n,cmp);
        S[0].x = xx;
        S[0].y = yy;
        S[1] = P[1];
        for(i = 2;i<n;)
        {
            if(top&&(Compare(S[top-1],S[top],P[i])<0)) top--;
            else S[++top] = P[i++];
        }
        for(i=0;i<=top;i++)
            printf("%lld  %lld\n",S[i].x,S[i].y);
    }
    return 0;
}