P9755 [CSP-S 2023] 种树

P9755 [CSP-S 2023] 种树

[CSP-S 2023] 种树

题目描述

你是一个森林养护员，有一天，你接到了一个任务：在一片森林内的地块上种树，并养护至树木长到指定的高度。

森林的地图有 \(n\) 片地块，其中 \(1\) 号地块连接森林的入口。共有 \(n-1\) 条道路连接这些地块，使得每片地块都能通过道路互相到达。最开始，每片地块上都没有树木。

你的目标是：在每片地块上均种植一棵树木，并使得 \(i\) 号地块上的树的高度生长到不低于 \(a_i\) 米。

你每天可以选择一个未种树且与某个已种树的地块直接邻接（即通过单条道路相连）的地块，种一棵高度为 \(0\) 米的树。如果所有地块均已种过树，则你当天不进行任何操作。特别地，第 \(1\) 天你只能在 \(1\) 号空地种树。

对每个地块而言，从该地块被种下树的当天开始，该地块上的树每天都会生长一定的高度。由于气候和土壤条件不同，在第 \(x\) 天，\(i\) 号地块上的树会长高 \(\max(b_i + x \times c_i, 1)\) 米。注意这里的 \(x\) 是从整个任务的第一天，而非种下这棵树的第一天开始计算。

你想知道：最少需要多少天能够完成你的任务？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 \(n\)，表示森林的地块数量。

接下来 \(n\) 行：每行包含三个整数 \(a_i, b_i, c_i\)，分别描述一片地块，含义如题目描述中所述。

接下来 \(n-1\) 行：每行包含两个正整数 \(u_i, v_i\)，表示一条连接地块 \(u_i\) 和 \(v_i\) 的道路。

输出格式

输出一行仅包含一个正整数，表示完成任务所需的最少天数。

数据范围

对于所有测试数据有：\(1 ≤ n ≤ 10^5,1 ≤ a_i ≤ 10^{18}, 1 ≤ b_i ≤ 10^9,0 ≤ |c_i| ≤ 10^9, 1 ≤ u_i, v_i ≤ n\)。保证存在方案能在 \(10^9\) 天内完成任务。

Solution:

说句闲话

也是怀揣着勇气打开了一年前把我干死的题，开始以为c,b都是正整数，max(1,cx+b)就是一个笑话，然后我在教室yy了五分钟就认为自己把这题秒了

直到我第二次上机房看到“\(0 ≤ |c_i| ≤ 10^9\)” 天都塌了

首先我们不难想到二分答案，然后考虑对于每一个答案计算一个t[i]，表示在该答案下，第i棵树最晚要在第t[i]天开始种植才能使得在ans天时满足题目的要求

然后我们思考一下怎么求这个天数:
设h(b,c,k)表示在从第1天到第k天，b=b,c=c的一颗树能长多高
形式化的:h=\(\sum_{x=1}^{k}{\max(1,c*x+b)}\)
我们会发现，这个式子就是求一个形如\(y=\max{(1,cx+b)}\)这样的分段一次函数的和。
那么h函数显然满足前缀和的性质，也就是说,一棵树在[L,R]段时间内生长的高度就是h(R)-h(L-1);
然后我们会发现，对于这个分段一次函数，我们只需要求出他们的交点然后\(O(1)\)分别计算左右两边的值就好了

到这里这题就做完一半了，接下来的问题就是：在一颗树上，每个时刻只能对一个相父亲点被染过色的节点染色，编号为i的点的最晚染色时间为t[i]，求是否有可行方案

这部分竟然可以直接贪心：
我们思考一个问题，我们假设显然即将要对x节点染色，下一个染色的节点是y,且t[x]<t[y];

那么我们将染x节点的路径x->1和染y所需的路径y->1画出来我们就会发现：
只要执行完了这两次操作，不论x,y哪一个先染，到后面那个点染完时，这两次操作过后的图是一样的。也就是说，完成这两个任务的最后时间是一样的，然而t[x]<t[y]显然x要比y的时间更紧迫，所以外面应该让x先染，否则就不保证check()函数的最优性了

然后还要注意的是h函数以及所有与h函数有关的值域在\([-(1e9)^3,(1e9)^3]\)可能把long long 爆掉，所以要开__int128,还有就是由于我们多次调用了h()函数和\(\sum\)函数，所以我们最好给他们套一个inline,不然很容易100->55

然后这题就欢乐的做完了

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef __int128 ll;
const int N=1e5+5;
using namespace std;
int n;
long long a[N];
int b[N],c[N],q[N],t[N];
int fa[N],vis[N];
int e_cnt;
int head[N];
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[N<<1];
inline void add(int x,int y)
{
    e[++e_cnt]=(Edge){y,head[x]};
    head[x]=e_cnt;
}
inline void write(ll x)
{
    return;
    vector<int> a;
    while(x)
    {
        a.push_back(x%10);
        x/=10;
    }
    for(int i=a.size()-1;~i;i--){cout<<a[i];}
}
inline ll sum(ll x)
{
    return ((x+1)*x)/2;
}
const __int128 one=1;
inline ll h(ll b,ll c,ll R)
{
    ll L=max(one,min(R+1,(ll)ceil(1.0*(1-b)/c)));
    ll res=0;
    if(c<0){return  sum(L-1)*c+(L-1)*b+(R-L+1);}
    if(c==0){return b*R;}
    if(c>0){return (sum(R)-sum(L-1))*c+(R-L+1)*b+(L-1);}
}
inline void dfs(int x,int ff)
{
    fa[x]=ff;
    for(int i=head[x],to;i;i=e[i].nxt)
    {
        to=e[i].to;
        if(to==fa[x])continue;
        dfs(to,x);
    }
}
inline int get_t(int x,ll val)
{
    int l=1,r=n,ans=-1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(val-h(b[x],c[x],mid-1)>=a[x])
        {
            l=mid+1;
            ans=mid;
        }
        else
        {
            r=mid-1;
        }
    }
    return ans;
}
inline void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++){vis[i]=0;}
    vis[0]=1;
}
inline bool cmp(int x,int y)
{
    return t[x]<t[y];
}
inline void update(int x,int &res)
{
    if(vis[x])return;
    vis[x]=1;
    res++;
    update(fa[x],res);
}
inline bool check(int k)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        q[i]=i;
        ll val=h(b[i],c[i],k);
        if(val<a[i])return 0;
        t[i]=get_t(i,val);
    }
    sort(q+1,q+1+n,cmp);
    int qwq=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        update(q[i],qwq);
        if(qwq>t[q[i]])return 0;
    }
    return 1;
}

inline void work()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
    }
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    long long l=n,r=1e9,ans=1e9;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        init();
        if(check(mid))
        {
            r=mid-1;
            ans=mid;
        }
        else
        {
            l=mid+1;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
#undef int
int main()
{
    //freopen("P9755_2.in","r",stdin);freopen("P9755.out","w",stdout);
    work();
    return 0;
}