P2569 [SCOI2010] 股票交易

P2569 [SCOI2010] 股票交易

[SCOI2010] 股票交易

题目描述

最近 \(\text{lxhgww}\) 又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，\(\text{lxhgww}\) 预测到了未来 \(T\) 天内某只股票的走势，第 \(i\) 天的股票买入价为每股 \(AP_i\)，第 \(i\) 天的股票卖出价为每股 \(BP_i\)（数据保证对于每个 \(i\)，都有 \(AP_i \geq BP_i\)），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第 \(i\) 天的一次买入至多只能购买 \(AS_i\) 股，一次卖出至多只能卖出 \(BS_i\) 股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 \(W\) 天，也就是说如果在第 \(i\) 天发生了交易，那么从第 \(i+1\) 天到第 \(i+W\) 天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过 \(\text{MaxP}\)。

在第 \(1\) 天之前，\(\text{lxhgww}\) 手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，\(T\) 天以后，\(\text{lxhgww}\) 想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入格式

输入数据第一行包括 \(3\) 个整数，分别是 \(T\)，\(\text{MaxP}\)，\(W\)。

接下来 \(T\) 行，第 \(i\) 行代表第 \(i-1\) 天的股票走势，每行 \(4\) 个整数，分别表示 \(AP_i,\ BP_i,\ AS_i,\ BS_i\)。

输出格式

输出数据为一行，包括 \(1\) 个数字，表示 \(\text{lxhgww}\) 能赚到的最多的钱数。

提示

• 对于所有的数据，\(1\leq BP_i\leq AP_i\leq 1000,1\leq AS_i,BS_i\leq\text{MaxP}\)。

DP好题

首先，题目规定第x天交易了那么
第 [x+1,x+w]天都不能交易
也就是说第x天交易后的下一个可交易日是x+1+w所以我们让w++
即对第x天，它的上一个可交易日是x-w

记\(dp[i][j]\)表示在第i天，手上持有j股时的最大收益

显然，我们有:
对于购买：\(dp[i][j]=max(dp[i-w][k]-(j-k)*AP_i)| j-k \le AS_i\)
对于卖出：\(dp[i][j]=max(dp[i-w][k]+(k-j)*BP_i)| k-j \le BS_i\)

但是如果我们真的这么写的话，对于每天的转移我们似乎浪费了很多时间

所以我们考虑单调队列优化：
我们发现右半部分的式子分别可以写成：
\(max(dp[i-w][k]+k*AP_i)-j*AP_i | j-k \le AS_i\)
\(max(dp[i-w][k]+k*AP_i)-j*BP_i | j-k \le BS_i\)
显然，\(max\)外的数字并不影响\(max\)内的单调性
所以我们使用单调队列来维护\(max\)然后直接转移就好了
时间复杂度O(TW)

然后这题就做完了 (经典结束语)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
const int N=2005;
const int inf=1e17;
using namespace std;
int n,m,w;
int dp[N][N];
int q[N<<1];
void init()
{
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		for(int j=0;j<N;j++)
		{
			dp[i][j]=-inf;
		}
	}
}
void work()
{
	init();
	cin>>n>>m>>w;
	w++;
	for(int i=1,ap,bp,as,bs;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&ap,&bp,&as,&bs);
		for(int j=0;j<=as;j++)dp[i][j]=-1ll*ap*j;
		for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
		//copy
		if(i-w<1)continue;
		int st=1,ed=0;
		for(int j=0;j<=m;j++)//之前持有k,现在买j-k使现在有j: 
		{
			while(st<=ed){if(j-q[st]>as)st++;else break;}//删掉购买数过多的 
			while(st<=ed){if(dp[i-w][q[ed]]+q[ed]*ap<=dp[i-w][j]+j*ap)ed--;else break;}//优化之前买的少还赚的少的
			q[++ed]=j;
			if(st<=ed)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w][q[st]]+q[st]*ap-j*ap); 
		}
		st=1,ed=0;
		for(int j=m;j>=0;j--)//之前持有k,现在卖出k-j使现在有j: 
		{
			while(st<=ed){if(q[st]-j>bs)st++;else break;}//删掉卖出数过多的 
			while(st<=ed){if(dp[i-w][q[ed]]+q[ed]*bp<=dp[i-w][j]+j*bp)ed--;else break;}//优化之前买的少还赚的少的
			q[++ed]=j;
			if(st<=ed)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w][q[st]]+q[st]*bp-j*bp); 
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		ans=max(ans,dp[n][i]);
	}
	printf("%lld",ans);
}
#undef int
int main()
{
	work();
	return 0;
}