P3377 【模板】左偏树/可并堆

P3377 【模板】左偏树/可并堆

【模板】左偏树/可并堆

题目描述

如题，一开始有 \(n\) 个小根堆，每个堆包含且仅包含一个数。接下来需要支持两种操作：

1. 1 x y：将第 \(x\) 个数和第 \(y\) 个数所在的小根堆合并（若第 \(x\) 或第 \(y\) 个数已经被删除或第 \(x\) 和第 \(y\) 个数在同一个堆内，则无视此操作）。

2. 2 x：输出第 \(x\) 个数所在的堆最小数，并将这个最小数删除（若有多个最小数，优先删除先输入的；若第 \(x\) 个数已经被删除，则输出 \(-1\) 并无视删除操作）。

输入格式

第一行包含两个正整数 \(n, m\)，分别表示一开始小根堆的个数和接下来操作的个数。

第二行包含 \(n\) 个正整数，其中第 \(i\) 个正整数表示第 \(i\) 个小根堆初始时包含且仅包含的数。

接下来 \(m\) 行每行 \(2\) 个或 \(3\) 个正整数，表示一条操作，格式如下：

操作 \(1\)：1 x y

操作 \(2\)：2 x

输出格式

输出包含若干行整数，分别依次对应每一个操作 \(2\) 所得的结果。

提示

【数据规模】

对于 \(30\%\) 的数据：\(n\le 10\)，\(m\le 10\)。
对于 \(70\%\) 的数据：\(n\le 10^3\)，\(m\le 10^3\)。
对于 \(100\%\) 的数据：\(n\le 10^5\)，\(m\le 10^5\)，初始时小根堆中的所有数都在 int 范围内。

定义：

外节点: 对于节点x,若ls[x]=0 or rs[x]=0 则称x为外节点

距离: 对于一个节点x,dis[x]的定义是:
x子树中距x最近的外节点的距离

----------------------------------------------------

左偏树的基本性质：

1.左偏树具有堆的性质:
如本题中，要求维护一个小根堆：
则有：\(\forall\)x ,v[x]<=v[ls],v[x]<=v[rs].

2.左偏树具有左偏性质: 不然为什么叫左偏树
即\(\forall\)x dis[ls[x]]>=dis[rs[x]].

基本结论：

1.dis[x]=dis[rs[x]]+1 (显然)

2.距离为𝑛的左偏树至少2^(n+1)-1有个结点。此时该左偏树的形态是一棵满二叉树。

3.有n个的结点的左偏树的根节点的距离是log(n)的

合并：

merge(x,y) 为合并操作，其返回值为合并x,y后的根节点

注意：如果x,y有一个为空，则直接返回另一个

1,令v[x]<v[y]，若不满足，则交换，此时,新的根节点为x(小根堆中)

2.将y与x的右儿子合并，合并后的返回值(根)成为x的右儿子

3.重复上述操作

对于节点x，求其所在的堆：

显然，并查集维护即可

对于本题特别要注意的是，如果查询时这个点被删除了，则输出-1

所以我们开一个数组del[x]，记录x是否被删除

然后这题就做完了

Code

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e5+5;
using namespace std;
int n,m;
struct Tree{
	int id,v;
	bool operator<(const Tree &tt)const {
		return v==tt.v ? id<tt.id :v<tt.v; 
	}
	bool operator>(const Tree &tt)const {
		return v==tt.v ? id>tt.id :v>tt.v; 
	}
	Tree(int id_=0,int v_=0)
	{
		id=id_,v=v_;
	}
}t[N<<1];
int ls[N],rs[N],rt[N],dis[N];
bool del[N];
int merge(int x,int y)
{
	if(!x)return y;
	if(!y)return x;
	if(t[y]<t[x])swap(x,y);
	rs[x]=merge(rs[x],y);//将y与x的右子树合并
	if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]])//不满足左偏了 
	{
		swap(ls[x],rs[x]);
	} 
	dis[x]=dis[rs[x]]+1;//dis[rs[x]]<=dis[ls[x]]
	return x; 
}
int find(int x)
{
	if(rt[x]==x)return x;
	rt[x]=find(rt[x]);
	return rt[x];
}
void work()
{
	dis[0]=-1;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		t[i]=Tree(i,x);
		rt[i]=i;
	}
	for(int i=1,opt,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1)
		{
			scanf("%d",&y);
			if(del[x]||del[y])continue;
			x=find(x),y=find(y);
			if(x==y)continue;
			rt[x]=rt[y]=merge(x,y);
		}
		else
		{
			if(del[x])
			{
				printf("%d\n",-1);
				continue;
			}	
			x=find(x);
			printf("%d\n",t[x].v);
			del[x]=1;
			rt[ls[x]]=rt[rs[x]]=rt[x]=merge(ls[x],rs[x]);
			ls[x]=rs[x]=dis[x]=0;
		}
	}
}
int main()
{
	freopen("P3377.in","r",stdin);//freopen("P3377.out","w",stdout);
	work();
}