总结：网络流的最小路径覆盖模型
或许只是一个非常简单的题目类型，但是我智商太低，花了好久才理解这类模型之间的关联。
所以简单总结一下，欢迎指出错误。
原版问题
问题 1：给定一张 \(\text{DAG}\)，需要选出最少的路径，覆盖所有点，路径不可有交。
这里直接给出做法：将每个点 \(u\) 拆成左部点 \(u\) 和右部点 \(u'\)，对于原图中的一条边 \((u,v)\)，在新图中连接 \((u,v')\)。之后新建源汇，连接所有 \((S,i)\)，\((i',T)\)，则最小路径覆盖 \(=n-maxflow\)。
蓝书上的理解方式是二分图最大匹配，这里之所以直接写作最大流，是为了更好地扩展到必须使用网络流算法求解的其他变种。
事实上，如果从“匹配”的角度来理解，那么一对匹配点的本质即为选出了某条路径上的一条边。对于未匹配点，未匹配的一个右侧点代表一条所选路径的起点，左端点代表终点。
因此一种天然的构造答案方式是：找出所有未匹配的右侧点，然后顺着往下把路径找出来即可。
这个经典问题可以被视为一类模型极其特殊的例子：对于给定的 \(\text{DAG}\)，选出一些路径，覆盖所有点。而在这个特例中，每条边费用均为 \(0\)，每个点选择次数均恰好为 \(1\)。正是因为有这两个条件，我们才可以用“\(n-maxflow\)"计算最小路径覆盖。
问题 2：给定一张 \(\text{DAG}\)，需要选出最少的路径，覆盖所有点，允许路径相交。
对原图进行传递闭包之后就可以转化为上一个问题。
下面总结该问题的几种变式。这几种变式在原版的基础上对一些条件进行了限制。
变式 1：边带权与起点代价
“瞬间移动”的本质即在经典问题的基础上增加了起点选取的代价。
考虑经典问题的建模方式。\(S\to u\) 的边本质上代表了 \(u\) 不是某条路径的起点，也就是说到达 \(u\) 的方式是“从某条路径走过来”。
那么我们同样连边 \(S\to u'\)，含义为点 \(u\) 的到达方式为“作为起点到达”。
再来考虑“边带权”的问题。类比普通二分图匹配与二分图带权匹配的关系，经典问题带权后，我们将最大流改为最小费用最大流即可。
另外，这种变式存在另一种理解方式（最小费用可行流），参见洛谷题解区 zyb 的题解。我没有细看，不知道这种理解方式能不能推广到其他几种变式。
变式 2：限制路径条数
如果没有路径条数限制，那么本题与变式 1 完全一致。
处理方式也很简单：建一个新点 \(S'\)，连边\(S\to S'\)，容量为 \(K\)。接着将所有 \(S\to u'\) 全部改为 \(S'\to u'\)。
不过在这道题中，我们没有必要特意将 \(S'\) 建出，只需要让 \(0\) 号点承担 \(S'\) 的功能即可。
变式 3：多次覆盖，限制结点覆盖次数
所谓的“快洗”“慢洗”本质上就是从 \(u\) 向所有 \([u+m,N]\) 的 \(v'\) 连边，因此这仍然是一个路径覆盖问题。
大部分题解的理解角度是拆成“早上”“晚上”，如果从路径覆盖的视角理解这种建模方式，“晚上”就是路径覆盖的左部点，“早上”是右部点。
每个点覆盖次数有下限无上限，但显然最优方案下每个点覆盖次数都等于这个下限。
类比普通二分图匹配与二分图多重匹配的关系，修改 \(S\to u,u'\to T\) 的容量即可。
另外，在题解区的一些代码中，左部点集出现了顺次向后连边的情况，这似乎与我们最初建立的二分图匹配模型并不一致。这种现象出现的原因是，如果按照套路建边（\(u\to v',v\in[u+m,N]\)），边数将会非常多，不可接受。由于本题中左、右部点间的边容量均为 \(+\infty\)，费用均为 \(0\)，我们可以采取这种方式减少边数。
边数有限，多次覆盖，每个点覆盖次数钦定。
有关边数的问题这里不再讨论，参见变式 \(2\)。
本题中每个点覆盖次数同时存在上下限且相等。我们将 \(S'\to u,u'\to T\) 的容量同时修改为限制即可。
对于覆盖次数只有上限的问题，我还没做到过，不过我估摸着类似地改改边权就行了。
变式 4：限制路径数，求最多覆盖点数
依照原题给出的限制和关系，我们不难将数字间的匹配关系建成一张 \(\text{DAG}\)。下面我们要依次覆盖这张 \(\text{DAG}\) 中的点。
一种比较暴力的思路是，二分答案，然后直接建图跑经典模型。
但显然这样做的时间开销是极大的，不可取。
发现随着覆盖点数的增加，需要的路径数单调不增。因此考虑动态地建出这张图。
具体地，我们从小到大一个个加入新点并建边，然后寻找增广路。如果找不到增广路，说明必须增加一条路径。
