国庆 Day3 强基数学

复数

四种基本表示形式：代数、三角、向量（几何法）、指数（基本同三角）。

一个重要公式：\(|z|^2=z\cdot z(共轭)\)。

Trick 1：利用 \(-1=i^2\) 进行代数变形。Eg：\(z^2-2z+2=z^2-2z+1-i^2=(z-1)^2-i^2=(z-1+i)(z-1-i)\)。

经典题：\(\cos \frac{\pi}{2n+1}+...+\cos \frac{(2n-1)\pi}{2n+1}=1/2(:=A)\)。
证明：构造对偶式 \(B=2\pi...2n\pi\)，诱导公式得 \(A+B=0\)，而后根据单位根性质 \(2\pi + 4\pi + ... + 2n\pi + (2n+2)\pi+...+4n\pi+1=0\)，即 \(2B+1=0\)。

旋转公式：tobeupd。

3 次单位根性质：\(w^2+w+1=0 \to w=\frac{\sqrt 3 i - 1}{2}\to w^2=w(共轭),w\cdot w(共轭)=1\)。

Trick 2：结合多项式、因式定理，可知 \(x^n-1=(x-1)(x-w)(x-w^2)...(x-w^{n-1})\)，也有 \(x^{n-1}+...+x+1=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{n-1})\)。

不等式

tobeupd...

Trick 3：证明 \(\sum A_i>\sum B_i\)，可以考虑证明 \(A_i>B_i\)。

换元法：这个要具体题目分析。

球面换元：对于 \(x^2+y^2+z^2=1\)，可作换元：\(x=\cos \theta,y=\sin\theta\cos\alpha,z=\sin\theta\sin\alpha\)。

Trick 4：分母尽量简单。

权方和不等式

切割线放缩

Trick 5：论证+构造。通过严格论证找到上下界，然后构造之。

方程

Trick 6：整体+局部。

Trick 7：\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)\)。