Python 乘法整理

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python 矩阵有两种形式：array 和 matrix 对象（它们的区别在这里就不说了），下面介绍相关乘法

1. np.multiply

对 array 和 matrix 对象的操作相同
(1) a 和 b 维度相同
都是每行对应元素相乘（即对应内积的第一步，不求和）

>>> a = np.array([[1,2],[1,2]])
>>> a*a
>>> array([[1, 4],
       [1, 4]])

（2）对于两个矩阵元素 a 和 b 维度不一的情况（array 和 matrix 对象都适用），则需将相应的行和列进行扩充，需要扩充的行或列的维度必须为 1。
对列扩充则补 1， 对行扩充则将第一行复制到每一行。比如，a：3 * 1， b: 1 * 2，则 a 扩充为 3 * 2，b 扩充为 3 * 2。
如下所示：

>>> a = np.array([[1],[1],[1]])
>>> b = np.array([1,2])
>>> np.multiply(a, b)
>>> array([[1, 2],
       [1, 2],
       [1, 2]])

（3）a 和 b为标量：则标量直接相乘

2. *
（1）对于 matrix 对象，代表矩阵乘法（维度必须满足相应规则）;
（2）对于array对象，则是每行对应元素相乘。当 array 对象的 shape 不同时（matrix 对象不行） ，其规则和 np.multiply 一样；

3. np.matmul
该函数对 array 和 matrix 对象的操作是不一样的。
（1）对于 matrix 对象，对应矩阵乘法，对象维度必须满足矩阵乘法规则。
（2）对于 array 对象，对应内积，但对象维度必须相同，不支持维度扩展。
（3）不支持标量运算。

在array 中，与 multiply 一样，每行对应元素相乘
4. np.dot
对于matrix 对象，对应矩阵乘法。
对于两个 array 类型的元素：a，b，有如下可能:
（1）a 和 b 都是一维 array，那么 dot 就是它们的内积（点乘）；
（2）a 和 b 都是二维 array，那么 dot 就是它们的矩阵乘积（即按矩阵乘法规则来计算），也可以用 matmul 或 a @ b；
（3）如果a 和 b 都是标量（scalar），那么 dot 就是两个数的乘积，也可以用 multiply 或 a * b；
（4）若 a：N * D，b：1 * D，那么 dot 为 a 的每一行和 b （只有一行）的 内积；

>>>a =  a = np.array([[1,2], [3, 4]])
>>>b = np.array([1, 2])
>>>np.dot(a, b)
>>>array([ 5, 11])

（5）a：N * D，b：M * D （N >= M）a 的所有行和 b 的所有行的内积，共要计算 N * M 次,结果的 shape 为：N * M。

>>>a =  a =np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4]])
>>>b = b =np.array([[1, 2], [2, 3]])
>>>np.dot(a, b)
>>>array([[ 5,  8],
          [ 8, 13],
          [11, 18]])