浅谈差分约束

差分约束

什么是差分约束？

是一种特殊的\(n\)元一次不等式组，它包含\(n\)个变量\(x_1,x_2,...,x_n\)以及\(m\)个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的。

形如\(x_i - x_j \le c_k\),其中 \(1 \le i,j \le n, i \ne j,1 \le k \le m\)并且\(c_k\)是常数（可正可负）。

约束条件可以变形

\[x_i - x_j \le c_k \Leftrightarrow x_i \le x_j + c_k \]

这就很像图论中的求最短路不等式

\[dist[y] \le dist[x] + z \]

因此，我们可以把每个变量\(x_i\)看做图中的一个结点，对于每个约束条件\(x_i - x_j \le c_k\)，看作从结点\(j\)向结点\(i\)连一条长度为\(c_k\)的有向边。

如果\(\lbrace a_1,a_2,...,a_n\rbrace\)是该差分约束系统的一组解，那么对于任意常数\(d\),\(\lbrace a_1 + d,a_2 + d,...,a_n + d \rbrace\)显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后\(d\)会被消掉。

设\(dist[0] = 0\)并向每一个点连一条权重为0的边，跑单源最短路，若途中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，\(x_i = dist[i]\)为该差分约束系统的一组解。

差分约束最难的地方在于找不等关系

有什么用？怎么用？

一、求不等式组的可行解

源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边

求一组解\(x_1 = a_1,x_2 = a_2, \ldots,x_n = a_n\),使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。
步骤：

1. 先将每个不等式\(x_i \le x_j + c_k\)，转换成一条从\(x_j\)走到\(x_i\)，长度为\(c_k\)的边。
2. 找到一个超级源点，使得该源点一定可以走到所以边
3. 从源点求一遍单源最短路

结果1：如果存在负环，则原不等式组一定无解
结果2：如果没有负环,则\(dist[i]\)就是原不等式组的一个可行解

二、如何求最大值或者最小值，这里的最值指的是每个变量的最值

结论：如果求的是最小值,则应该求最长路；如果求的是最大值,则应该求最短路
问题1：如何转换\(x_i \le c\)，其中\(c\)是一个常数，此类的不等式
方法：建立一个超级源点0，然后建立0 -> i的边，长度是c的边即可
以求\(x_i\)的最大值为例：
所有从\(x_i\)出发，构成的不等式链

\[x_i \le x_j + c_1 \le x_k + c_2 + c_1 \le ... \le x_0 + c_1 + c_2 + ... + c_m (x_0 = 0) \]

所计算出的上界，最终\(x_i\)的最大值等于所有上界的最小值。

\[ \begin{cases} x_1 \le 5 \\\ x_1 \le 7 \\\ x_1 \le 9 \end{cases} \]

如这个例子中，\(x_1\)的最大值为5

转换为图论问题，就是求\(dist[i]\)的最小值，即最短路求解

求\(x_i\)的最小值时则相反，通过不等式链计算出下界，最终在所有下界中取最大值
转换为图论问题就是求\(dist[i]\)得最大值，即最长路求解

参考文献：
OI Wiki差分约束