取样问题——《编程珠玑》读书笔记

问题描述：

     给定一个足够大的随机选择函数rand(), 对于[0, n)范围内的数，随机选取m个（m<n），且取出的m个数有序排列（增序或减序）。

 

问题解答：

 1、    一开始拿到问题的时候，我的想法就是从rand()%n中取出m个不同的数。这其中需要解决的问题一个就是如何去重，另一个是排序问题。

     作者的算法参考自《The Art of Computer Programming. Volume2: Seminumerical Algorithms》，考虑方向完全不一样。

     该算法依次考虑整数0,1,2……n-1，并通过一个适当的随机测试对每个整数进行选择。通过按序访问整数，可以保证输出结果的有序性。

     为了理解选择的标准，我们考虑下m=2， n=5的情况。那么我们需要对每个整数的选取概率定为2/5，并且要保证一定能选出2个数出来。

     首先我们会考虑整数0，选择0的概率为2/5，可以通过下面的语句来实现：

               if (rand() % 5) < 2

     不幸的是，我们不能用同样的概率来选择整数1：这样做的话我们从5个整数中选出的整数可能是两个也可能不是两个。因此决策有一些不同：在已经选择0的情况下以1/4的概率选择1， 而在没有0的情况下一2/4的概率选择1（我们来看下选择1的概率是多少：2/5 * 1/4 + 3/5 * 2/4 = 2/5,使我们需要的概率）。一般说来，如果要从r个剩余的整数中选出s个，我们以概率s/r选择下一个数。

     下面是完整的C代码，可参考

  #include <iostream>
  #include <stdlib.h>
  using namespace std;

  int genknuth(int m, int n)
  {
      for (int i = 0; i < n; i++)
      {
          if ((rand() % (n - i)) < m)
          {
              cout << i << "\t";
              m--;
          }
      }
      cout << endl;
      return 0;
  }

  int main()
  {
      genknuth(10, 101);
      return 0;
  }

 

2、顺带附上刚开始的想法，时间复杂度为O(mlogm)：

  int gensets(int m, int n)
  {
      set<int> s;
      while (s.size() < m)
      {
          s.insert(rand() % n);
      }
      set<int>::iterator i;
      for (i = s.begin(); i != s.end(); i++)
      {
          cout << *i << "\t";
      }
      cout << endl;
      return 0;
  }

3.

生成随机数另一种方法是把包含整数0~n-1的数组顺序打乱，然后把m个元素排序输出。Ashley Shepherd和Alex Woronow发现，在这个问题中我们只需要打乱数组的前m个元素，时间复杂度为O(n)

  int intcmp(const void* it1, const void* it2)
  {
      return *(int*)it1 - *(int*)it2;
  }
  int randrange(int a, int b)
  {
      return (rand() % (b -a)) + a;
  }
  int genshuf(int m, int n)
  {
      int i, j;
      int* x = new int[n];
      for (i = 0; i < n; i++)
      {
          x[i] = i;
      }
      int t;
      for (i = 0; i < m; i++)
      {
          j = randrange(i, n - 1);
          t = x[i];
          x[i] = x[j];
          x[j] = t;
      }

      qsort(x, m, sizeof(int), intcmp);
      for (i = 0; i < m; i++)
      {
          cout << x[i] << "\t";
      }
      cout << endl;
      return 0;
  }