概率论，简要数学期望（转载）

概率论（https://ruanx.pw/post/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA.html）

这东西并不难学。
这片博客主要介绍离散概率、连续概率、期望与微积分……

离散型概率入门

计算方法

首先，我们来讨论一个最原始的问题：抛一个质地均匀的硬币，抛中正面的几率是多大？
显然 $50 %$ 。

那么问题加深一番：抛两个质地均匀的硬币，都抛中正面的几率是多大？
显然 $25 %$ 。

进一步，抛 $n$ 个硬币，全都正面朝上的几率是 $0.5 \times 0.5 \times 0.5 \dots = {0.5}^{n}$ .
如何理解这个概率？全部正面朝上，显然要求第一个朝上、第二个朝上……所有的要求都满足的时候，事件就达成了。

由此总结出乘法法则：

考虑将一个事件 $A$ 拆成小事件 $a_{i}$ ，小事件必须全部发生。
则 $A$ 发生的概率为： $P (A) = P (a_{1}) \times P (a_{2}) \times P (a_{3}) \dots$

但是乘法法则显然不是万能的。我们总会遇到一些乘法法则不好用的情况。
还是抛 $n$ 次硬币。问恰好 $m$ 次正面朝上的概率。

这时候乘法法则就不太好用了。你要钦定哪些时候抛中 $1$ ，大大增加计算量。
换一种思路。考虑所有可能的情况，共有 $2^{n}$ 中；恰好抛中 $m$ 个的情况有 $C_{n}^{m}$ 种。故总概率是：
$P (抛中 m 个) = \frac{C_{n}^{m}}{2^{n}}$ .

这就是计数法则：

考虑事件所有可能发生的情况总数 $S$
考虑使得 $x$ 成立的情况总数 $T$
则有： $P (x) = \frac{T}{S}$

例题：Link的游戏

Link很喜欢提交vijos某道题。他的程序随机生成答案，已知对于每个测试点，正确的几率是 $0.5$ .共有 $10$ 个测试点，求Link通过 $9$ 个测试点的概率。

考虑所有可能情况共 $1024$ 种，其中恰好错掉一个点的情况共 $10$ 种。
故有： $P (通过 9 个点) = \frac{10}{1024}$ .

常识

概率为 $0$ 的事件可能发生；概率为 $1$ 的事件可能不发生。
一个例子：从数轴 $[0, 1]$ 上随机取一个实数，取到 $0.5$ 的概率是 $0$ ，但是它可能发生。

实际上，在概率论中，一个事件的概率为 $0$ ，表示它几乎一定不发生。

数学期望

数学期望是指：对于每个可能发生的事件 $x$ ，对答案造成 $w (x) \times P (x)$ 的贡献。
其中 $w (x)$ 是 $x$ 的价值， $P (x)$ 是 $x$ 发生的概率。

计算方法

扔硬币一次。记抛中正面为得一分，反面不得分。求得分的期望。

依据定义，我们可以得到答案：
- 抛中正面，对答案的贡献是 $1 \times 0.5 = 0.5$ .
- 抛中反面，对答案的贡献是 $0 \times 0.5 = 0$ .

故最终答案为： $E = 0.5$

进一步，我们扔硬币 $n$ 次，求得分的期望。
由于每次抛硬币都会对答案造个 $0.5$ 的贡献，所以 $E = 0.5 n$ .

我们好像发现了世界的奥秘……
期望的线性性质：

无论何时，期望总是线性可加的。

有了这个性质，我们可以大大简化计算。
考虑一个事件，每次尝试都有 $p$ 的概率做成。问期望尝试多少次，可以把事情做成。

我们定义“完成度”：完全完成是 $1$ ，完全不完成是 $0$ .那么每次尝试，完成度的期望都是 $p$ .
假设期望尝试 $c$ 次，则根据期望的线性性质有： $c \cdot p = 1$ ，故 $c = \frac{1}{p}$ .

连续型概率入门

上面的例子，可能发生的事情种类是有限的，我们可以直接枚举所有情况进行计算，例如古典概型。

但是还有些问题，例如几何概型，可能发生的事情种类是无限的！

从数轴 $[0, 1]$ 上随机取一个实数 $x$ ，求 $x$ 的期望。
从 $1 \times 1$ 的正方形内随机取三个点，求围成三角形面积的期望。
......

面对这种情况，我们已经不能枚举所有的情况，所以开始寄希望于微积分。

考虑黎曼积分的原始形式：将定义域分为很多份，对每一份构成矩形来求面积。

假设我们从数轴 $[0, 1]$ 上随机取一个实数 $x$ ，求 $x$ 的期望。

我们在 $[0, 1]$ 做 $n$ 个等距的点，并且规定只能在这些点上取。那么取到每个点的概率都是 $\frac{1}{n}$ .
考虑取 $x$ 的价值，显然是 $w (x) = x$ .因此第 $i$ 个点的价值是 $\frac{1}{n} \cdot i = \frac{i}{n}$ .因此期望是：
$E (x) \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{i}{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} i}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}$ .

显然，我们将点取得越多，这个结果就越精确。当点取到无限多时，上面的结果已经无限接近于真实情况。故最后的答案是：
$E (x) = lim_{n \to \infty} (0.5 + \frac{1}{2 n}) = 0.5$ .

上面的求解方式已经相当类似于微积分的表述了。类似地，我们总结出一般规律：

对于一个离散型概率，有 $E = \sum w (x) \cdot P (x) \cdot [x 为合法事件]$

对于一个连续型概率，有 $E = \int w (x) \cdot P (x) \cdot [x 为合法事件]$

微积分博大精深。

posted @ 2017-02-01 09:58 安月冷阅读(2042) 评论(0) 编辑收藏举报

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