求逆元

什么叫乘法逆元？

    

    这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

    这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

怎么求逆元？

1，扩展欧几里德算法求逆元

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}
int inv(int a,int mod){
    int x,y;
    int ans=ex_gcd(a,mod,x,y);
    if(ans==1)    return (x%n+n)%n;
    return -1; 
}

 2，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

 

推导过程如下

                            

根据上式，若求ans=(a/b) mod m,可转换成求a*inv[b] mod m    (inv[b]为b的逆元：b^(m-2)  ，用快速幂求)

 

3，

现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

 

           

 

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

 

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

 

          

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

 

          

4，

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

 

                   

 

它的推导过程如下，设，那么

 

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

       

 

再把和替换掉，最终得到

 

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

 

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

 

 

 

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787