HDU 2298 Toxophily 【二分+三分】

一个人站在(0,0)处射箭，箭的速度为v，问是否能够射到(x,y)处，并求最小角度。

首先需要判断在满足X=x的情况下最大高度h_max是否能够达到y，根据物理公式可得

h=vy*t-0.5*g*t*t

vx=v*cos(a)

vy=v*sin(a)

t=x/vx

由此可推出：h=x*tan(a)-(g*x*x)/(2*v*v)/cos(a)/cos(a)

g,x,v已知，设A=x,B=(g*x*x)/(2*v*v)

原式化为：h=A*tan(a)+(-B/(cos(a)^2))

由于凸函数有以下性质：

1，如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。

2，如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。

tan(a)为凸函数，cos(a)为凸函数，-(1/x)为增凸函数。所以h为凸函数。

以上是h函数是凸函数的证明，因为网上的题解基本都是一句带过，小白的我又看不懂，只能自己证明。若有出错的地方，请大神指出。拜谢。

因此可以三分出h_max。

若能到达，再通过二分得到最小的仰角。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
const double pi=acos(-1.0),g=9.8,eps=1e-8;
double x,y,v;
double cal(double a){
    double vx=v*cos(a);
    double vy=v*sin(a);
    double t=x/vx;
    double h=vy*t-g*t*t/2;
    return h;
}
double thrdiv(){
    double l=0.0,r=pi/2.0,lm,rm;
    while(r-l>eps){
        lm=(l*2.0+r)/3.0;
        rm=(l+r*2.0)/3.0;
        if(cal(lm)>cal(rm))
            r=rm;
        else
            l=lm;
    }
    return l;
}
double bin(double a){
    double l=0,r=a,mid;
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2;
        if(cal(mid)<y)
            l=mid;
        else
            r=mid;
    }
    return l;
}
int main(){
    double ans,h;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&v);
        ans=thrdiv();h=cal(ans);
        if(y-h>eps)
            printf("-1\n");
        else if(fabs(y-h)<=eps)
            printf("%.6f\n",ans);
        else{
            ans=bin(ans);
            printf("%.6f\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}