次小生成树模板

次小生成树可由最小生成树换一条边得到，这是核心结论!

 证明:换种方式去看待这个结论(一个生成树可以通过换边得到另一个生成树)，T是某一棵最小生成树，T0是任一棵异于T的生成树，通过变换T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T)  变成最小生成树。所谓的变换是，每次把Ti中的某条边换成T中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的权。

         看下面的具体步骤(一定要理解透彻)。 
         step 1. 在Ti中任取一条不在T中的边uv. 
         step 2. 把边uv去掉，就剩下两个连通分量A和B，在T中，必有唯一的边u'v' 连结A和B。这是为什么呢？因为生成树中任意两点间只有一条路径(下面也要用这个)，且必有一条。 
         step 3. 显然u'v'的权比uv小 (prime算法贪心的，否则,uv就应该在T中)，把u'v'替换uv即得树T(i+1)。 
         特别地：取T0为任一棵次小生成树，T(n-1) 也就是次小生成树且跟T差一条边， 结论得证。

　　

#include<stdio.h>       ////O（v^2）,适用于稠密图
#include<string.h>
#define max(x,y) x>y?x:y
#define min(x,y) x<y?x:y
const int N=1000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[N][N],p[N],low[N],n;
int f[N][N],fa[N];
int prim()
{
    int i,j,ans=0,poi,top=0,sta[N];
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(f,0,sizeof(f));
    p[1]=1,sta[++top]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        low[i]=a[1][i];
        fa[i]=1;        //父节点
    }
    for(i=1;i<n;i++)           ////n-1次操作
    {
        int mi=INF;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!p[j]&&mi>low[j])
            {
                mi=low[j];
                poi=j;
            }
        }
        p[poi]=1;
        ans+=mi;
        //// dp
        for(j=1;j<=top;j++)
        {
            f[sta[j]][poi]=f[poi][sta[j]]=max(mi,f[fa[poi]][sta[j]]);
        }
        sta[++top]=poi;
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(!p[j]&&low[j]>a[poi][j])
            {
                fa[j]=poi;  ////更新父节点
                low[j]=a[poi][j];
            }
    }
    return ans;
}
int SMST()
{
    int tmp=prim(),i,j,mi=INF;
    printf("SMT: %d\n",tmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j&&a[i][j]!=INF&&fa[i]!=j&&fa[j]!=i)  ////fa[i]!=j&&fa[j]!=i表示这两个点之间的边没有在最小生成树中
            {
                mi=min(mi,a[i][j]-f[i][j]);
            }
        }
    }
    return tmp+mi;
}
int main()
{
    int i,j;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        printf("SMST: %d\n",SMST());
    }
    return 0;
}
/* 测试数据
4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
*/

 参考文章：http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3290832.html

    　　　　http://blog.sina.com.cn/s/blog_63509b890100r445.html