【数学】At Coder 091 D题

【深夜题解】

 

题目链接：https://arc091.contest.atcoder.jp/tasks/arc091_b

题目大意：给出两个正整数N、K，找出所有的不大于N的正整数对（a,b）使b%a>=K，求数对总数。

 

解题思路：

解这道题的历程很纠结……倒不是题目问题而是心理问题，值得反思，应该克服浮躁畏难情绪。

回归题目，首先对于b%a>=K，我们可以想到a>K这一必须条件，当a==K+1时，b==d*a+K；当a==K+2时，b==d*a+K+1或d*a+K。

d可以从0开始取值，只要满足b不大于N即可，那么其实每个d的最大值都十分好求，d==(N-K-x)/a；(a>x+K>=K)

但是如果枚举每个x和a的话时间复杂度是N^2,，会T。于是我们根据此题的特殊条件，寻求只枚举a的解法。

对于每一个a，b%a的值都有（a-k）种可能，如果每种可能的d都一样，那我们就可以省略枚举d了。

那么每种可能的d到底一不一样呢？答案是否定的。

但是，我们可以发现对于确定的a，每种可能的d最多只会相差1。

我们来仔细分析d的组成：

（N-K-x）/a==（N/a*a+N%a-K-x）/a==N/a+(N%a-K-x)/a。

对于每个x，最终种数是d+1(从0开始取值)，所以ans+=N/a+(N%a+a-K-x)/a;

而K+x是小于a的，所以后边那一团恒正，且小于2*a，只需要判断是否大于a（商为1还是0）就行了。

那么商为1的到底有多少个？N%a+a-K-x>=a=====N%a-K-x>=0=====N%a-K>=x。我们可以o(1)求出能提供格外贡献的x有多少个了，答案就是N%a-K+1(x也从0开始取)。

所以对于一个a，它提供的贡献是(N/a)*(a-k)+max(0,N%a-K+1)。

 

另外此题还有一个trick，要求a,b是正整数，当k==0的时候，b==0在本算法中也是合理解，必须排除，所以特判一下（ans-N）。

 

下面放1msAC代码：

 

#include<stdio.h>

int _max(int a,int b){return a>b?a:b;}

int main(){
    
    long long ans=0;
    int n,k,i,a;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=k+1;i<=n;i++){
        ans+=(long long)(n/i)*(i-k);
        ans+=(long long)_max(0,n%i-k+1);
    }
    if(k==0)ans-=(long long)n;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}