【1 月小记】Part 8: 网络流

I and flow

一、最大流

P2762 太空飞行计划问题

能用网络流求解的题目一般具有以下特征：

• 用 DP 做不了；
• 数据范围在 \(O(n^3)\) 下能过；
• 最优化问题。

本体符合上述特征，因此考虑构建网络。要做一个实验，代表着能够获得 \(p_i\) 的收益。因此对于每个实验建一个点 \(E_i\)。对于从超级源点 \(S\) 到 \(E_i\) 的连边，其容量即为 \(p_i\)。

做一个实验 \(E_i\)，代表着要使用列表 \(R_i\) 中的所有仪器。这是一个同时进行、相随伴生的过程，所以将 \(E_i\) 连接到 \(R_i\) 中的所有点 \(I_i\)，其容量为 \(\infin\)，代表这条边永远不会被割。

使用一个仪器 \(I_i\)，代表着要付出 \(c_i\) 的代价。因此对于每个节点 \(I_i\)，建一条连向超级汇点 \(T\) 的边，其容量为 \(c_i\)。

根据最大流最小割定理，这个时候跑最大流，就相当于跑最小割，必定会割掉连接实验或容器的边。跑最小割相当于选择部分的实验和部分的仪器，剩下的实验和仪器就会被割掉，此时再用实验的总价值减去可能得到的最大值，即为其所要求的答案。