图论初步

一、图

1. 图的概念

在 OI 中，图是一种数据结构，由节点和连接它们的边构成。

一般使用 \(G = (V, E)\) 表示一个点集为 \(V\)，边集为 \(E\) 的图。

一般使用 \((u, v)\) 表示一条从节点 \(u\) 连向节点 \(v\) 的有向边。

连接顶点 \(u\) 的边的个数叫做顶点 \(u\) 的的度。

2. 图的分类

按照点或边是否有限：

有限图、无限图。
按照边是否有方向：

有向图（所有边都有方向）；

无向图（所有边都没有方向）；

混合图（一部分边有方向，另一部分没有）。
按照边是否有权：

有权图、无权图。
按照边权的正负：

负权图、非负权图。

3. 简单图

自环：对于有向边 \(e = (u, v)\)，若 \(u = v\)，那么 \(e\) 叫做自环，即自己指向自己的边。
重边：连接同一组顶点的边互为重边。
如果一个图没有自环或重边，那么这个图叫做简单图。反之，这个图叫做多重图。

4. 图的连通性

（待学习）

5. 图的存储

在 OI 中，一般使用下列方法来存储图。

1）邻接矩阵

使用一个数组 g 来存边。

如果点 \(u\) 与点 \(v\) 之间存在一条有向边 \((u, v)\) ，其权为 \(w\) ，那么可以使用邻接矩阵表示为 g[u][v]=w 。

特别地，如果如果点 \(u\) 与点 \(v\) 之间不存在边，那么可以将 g[u][v] 与 g[v][u] 的值设置为一个特殊值（如 0 或 INT_MAX ）。

优点：查询方便。

缺点：占用空间太大；只适用于没有重边的情况。

适用于稠密图的存储，不适用于稀疏图的存储。

2）邻接表

使用一个动态数组 vector<Edge>g[N] 来存边，其中类型 Edge 为边的类型。

其中 g[u] 存储了点 \(u\) 的所有出边。

邻接表存图几乎没有缺点。

3）链式前向星

是使用一个链表实现邻接表的存图方式。

优点：空间占用非常小（是三种方式中空间相对最小的一个，如果怕炸空间可以用这个）。

缺点：不能快速查询一条边是否存在。

6. 图的遍历

图一般有两种遍历方式：DFS 与 BFS。

1）DFS

指深度优先搜索。

其思想通俗一点说，就是一条道走到黑，即每次都尝试向更深的节点走。

我们一般使用递归法实现图的 DFS 遍历。

vector<int>g[N];
int vis[N];
void DFS(int u){
    vis[u]=1;
    for(int v:g[u]){
        if(vis[v])continue;
        DFS(v);
    }
}

2）BFS

指广度优先搜索。

该算法每次都访问同层的节点（这是一个重要的性质）。如果该层的节点全都被访问，就访问下一层的节点。

这样的算法设计使得 BFS 在无权图中会始终找到两点间的最短合法路径。

一般使用队列实现图的 BFS 遍历。

vector<int>g[N];
int vis[N];
queue<int>q;
void BFS(int s){
    vis[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int v:g[u]){
            if(vis[v])continue;
            q.push(v);
            vis[v]=1;
        }
    }
}

7. 特殊的路径

1）最短路

对于一条路径，若它是从节点 \(u\) 到节点 \(v\) 所有路径中边权和最小的那条，那么这条路径叫做从节点 \(u\) 到节点 \(v\) 的最短路。反之，若边权和最大，那么这条路径叫做从节点 \(u\) 到节点 \(v\) 的最长路。

单源最短路指的是从一个指定的源点到其他所有顶点的最短路。

多远最短路指的是图中任意两点间的最短路。

对于寻找两点间的最短路或最长路这类问题，我们可以使用多种算法求解。

A. 两种算法实现单源最短路

a. Dijkstra 算法

是一种基于松弛操作的，用于非负权图上寻找单源最短路的强大算法。

不妨定义 \(dis_u\) 表示从源点到点 \(u\) 的最短路长度。

考虑对于一条有向边 \(e=(u, v)\) ，边权为 \(w\) ，如果 \(dis_u+w<dis_v\) ，那么证明从源点走到点 \(u\) ，经过边 \(e\) 再到达点 \(v\) ，存在一条未发现过的，且比原认为的最短路径还要短的路径。

那么我们就可以更新数组，使得 \(dis_v←dis_u+w\) 。这样的操作被称作松弛。

Dijkstra 算法的一般过程为：

将源点的 \(dis\) 值设为 \(0\) ；
寻找所有未访问的顶点中 \(dis\) 值最小的；
松弛该顶点的所有连边；
标记该顶点；
重复步骤 2~4 ，直至不存在可处理的点。

该算法的时间复杂度是 \(O(n^2+m)\) 的，其中 \(n\) 为点数，\(m\) 为边数。

b. 堆优化的 Dijkstra 算法

因为我们每次松弛时都要维护未访问顶点中 \(dis\) 值最小的那个，所以我们可以使用一个堆记录这样的点，以及指向该点的边权。

容易证明每条边最多入堆或出堆一次，那么时间复杂度是 \(O(mlogm)\) 的。

值得注意的是，对于稠密图而言，\(n^2\) 与 \(m\) 的数量级相同，此时堆优化的 Dijkstra 算法要明显劣于不加优化的 Dijkstra 算法。所以我们需要根据题目情况选择是否使用堆优化。

c. SPFA 算法

SPFA 在 NOI2018 D1T1「归程」中因被卡常而有"已死"一说。

该算法是经队列优化的 Bellman-Ford 算法。后者因极高的时间复杂度，此处不予介绍。

SPFA 算法的大致步骤如下：

将源点的 \(dis\) 值设为 \(0\) 并放入队列；
松弛从队头顶点出发的所有边，弹出队头；
将松弛成功的边放入一个队列中；
重复步骤2~3，直至队列为空。

松弛过程中可能会有同一个点多次入队，这导致算法效率变低。其时间复杂度为 \(O(km)\) 的，其中 \(k\) 是一个常数，通常小于图中顶点数 \(n\) ，但最坏情况下（如"菊花挂网格"）时间复杂度可能会变为 \(O(nm)\) 的。

值得注意的是，该算法是支持负权图的。在没有负权边的情况下，Dijkstra 算法的表现一般要比 SPFA 更好。

B. Floyd 算法实现多源最短路

全称 Floyd-Warshall 算法，主体思想是基于动态规划的。

定义数组 dis[u][v] 表示点 \(u\) 到点 \(v\) 的最短路长度。

考虑枚举点 \(k\) ，使得点 \(u\) 到点 \(v\) 的某一路径经过了点 \(k\) ，那么容易得到状态转移方程：

\[dis[u][v]=min(dis[u][v],dis[u][k]+dis[k][v]) \]

注意：应当将 dis 数组初始化为极大值。

2）环

对于一条路径，若起点与终点相同，且这组点对是唯一重复出现的点对，那么这条路径叫做一个环。

如果一个环所有边的权值为负，那么这个环叫做负环。

可以使用 SPFA 算法寻找图中负环。

先证明一个引理：如果一个图中存在从源点能到达的负环，那么在这个图中一定不存在源点到该负环上任意一点的最短路。

可以考虑如下的图：

(1,2)=5
(2,3)=-3
(3,1)=-4

在这个图中，从顶点 \(1\) 出发，每绕负环走一圈，任何顶点的 \(dis\) 值都会变得比原来更小。这样一直绕圈，\(dis\) 就会越来越小，直到趋于负无穷，导致不存在一个实际的最短路径。

我们再证明一个引理：对于一个“不存在源点能到达的负环”的图，从源点出发到达它所有能到达的顶点中，至少存在一条最短路，使得这条最短路上的点数小于或等于总点数 \(n\)。

可以反证：假设存在符合上述特征的最短路，使得其点数大于 \(n\)，那么一定有某些顶点被走了多次。同时我们知道不存在源点能到达的负环，所以这种走法一定比“不走重复走过的顶点”代价更大。

于是命题得证。

综上所述，对于 SPFA 算法，如果存在一个元素，使得它的进队次数超过 \(n\)，那么当前从源点到该点的最短路径上的点数就超过了 \(n\)，即存在负环。

8. 生成树问题

（待完善）

二、模板

图的遍历：P5318
最长路：P1807
单源最短路：P4779
多源最短路：B3611
最小生成树：P3366
负环：P3385
最短路计数：P1144

三、习题

（一）图上 DP 与最短路

P1113 杂务

定义 f[u] 表示走到从第 1 个节点走到第 u 个节点所需的最少时间。

对于节点 u 的前驱节点 v，一定有 f[u]=min(f[v])+a[u]。

所以我们需要对图进行拓扑排序，在此基础上，保证 f[v] 的值在 f[u] 之前被更新，然后就能进行状态转移了。

图上DP拓扑排序的一般写法如下：
```
int DFS(int u){
	if(f[u])return f[u];//如果搜过就直接返回，记忆化搜索。
	for(auto v:g[u]){
		//找最值
	}
	//转移
	return f[x];//返回结果
}
```
P4568 [JLOI2011] 飞行路线

题意简述：给你一个有向有权图，可以使用 k 次机会使得某边的边权变为 0，求最短路。

需要用到分层图。因为我们有 k 次走免费边的机会，所以我们可以将原图复制 k 份，并将处于不同层的图中互相对应的两点以权为 0 的有向边连接，这就相当于走免费边。因为我们复制了 k 份，而且连接的是单向的权为 0 的边，所以恰好最多有 k 次机会走免费边。

代码上，使用 u+k*n 存层数为 k-1 的节点 u。然后跑 Dijkstra 即可。
P6464 [传智杯 #2 决赛] 传送门

注意到这题的数据范围小的离谱，所以可以先把原图的 Floyd 跑出来，然后两两枚举要加传送门的点，然后跑 Floyd 即可。

一定要关注数据范围，它会决定你所使用的算法。
P1119 灾后重建

回顾 Floyd 板子，一共有三层循环。其中，第一层循环 k 代表了断点。所有的非直接最短路都是从断点转移而来的。

本题中，如果某一村庄未重建完成，那么该村庄就不能当作断点来进行状态转移。所以需要在 Floyd 里面加一个特判。

注意到 t 数组给定即升序，那么只需一边 Floyd，一边加合法断点即可。
P2047 [NOI2007] 社交网络

我们先统计多源最短路条数。

累计答案时，若 dis[i][k]+dis[k][j]==dis[i][j]，则说明节点 k 恰好经过了 i 到 j 的最短路，然后按照题意累计答案即可。
P1875 佳佳的魔法药水

定义 dis[x] 表示获得药水x的最小价格，那么它必定从x的两个子节点转移而来。各点 dis 的初始值均为各点的点权。

开一个数组 f[u][v]，用于记录节点 u 与 v 共同指向的那个节点。

我们有两种方案：
1. 可以使用 u 和 v 药水合成 f[u][v] 药水；
2. 直接购买 f[u][v] 药水（即 dis[f[u][v]] 的初始值）。
dis[f[u][v]] 必定从 dis[u] 与 dis[v] 松弛而来。因此把所有节点放到队列里，跑 Dijkstra 最短路即可。

至于方案计数，参阅“最短路计数”。
P1462 通往奥格瑞玛的道路

先打出来 Dijkstra 板子，然后往最短路函数里传一个参数 limit，表示这次求最短路的过程中只能经过点权小于或等于 limit 的点。

将每条道路上扣的血量作为边权。

对于二分答案 check 函数的部分，如果 dis[n]>b，那么表明走到终点时，扣的血量比原有血量多，即血量降低为负数，进而不合法。

所以 check 函数中，在以 mid 作为 limit 进行 Dijkstra 之后，返回 dis[n]<=b 即可。

二分边界 l=起点和终点点权的最大值，r=所有点权中的最大值。

注意，我们需要在最开始没有限制地（即把 limit 设置为一个极大值）跑一边最短路，如果 1 到 n 之间没有通路，那么就不合法。
P1948 [USACO08JAN] Telephone Lines S

和上一题基本一样，但是这道题并不是说在图中不能走任何边权大于 limit 参量的边，而是仅有 k 次机会走。

先打 Dijkstra 板子，然后传限制参量 limit。

不妨将小于或等于 limit 的边的边权视为 0，大于的视为 1。

贡献转换：合法的贡献视为 0，不合法的贡献视为 1，就可以统计出产生不合法的贡献的次数。

那么此时求出的 dis[u]，就是以 limit 为当前的最大花费的情况下，走到点 u 所需要的请求支援的次数。

如果 dis[n]<=k，则证明请求支援的次数不超过限制，是合法的答案，反之则不合法。

所以可以二分答案，找到最小的 mid，输出即可。

posted @ 2025-10-17 13:11 L-Coding 阅读(12) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

L-Coding