题解 八省联考2018 / 九省联考2018

题目顺序不是做题顺序也不是考试顺序更不是难度顺序，是随机顺序。

为了不影响观看体验决定把代码删去，需要请私信我，QQ或博客园皆可。

题目里的难度评分是个人评分，仅供参考开心就好。

林克卡特树\(LCT\)

难度评分：\(NOI-\)

题意是有一棵树上有边权，边权可正可负，要求删去\(k\)条边同时加上\(k\)条边权为\(0\)的边，然后选出树上一条路径\((p,q)\)，获得\(\sum_{i∈path(p,q)} v_i\)的价值，最大化这个价值。

先考虑一下部分分，发现\(k=0\)就是树的直径。那么删去\(k\)条边实际上就相当于构成了\(k+1\)个连通块，在每个连通块里面求直径累加起来即可。于是考虑\(60pts\)的部分分，发现可以打一个\(O(nk)\)的暴力。这种暴力一般是树形\(dp\)。

考虑怎么设树形\(dp\)的状态：设\(f[i][j]\)表示以\(i\)为根的子树里选出了\(j\)条链。这个链有两种：经过根和不经过根。问题是不同子树里面的链怎么拼在一起？记录首尾肯定不行。所以问题就出在了状态无法转移，但是部分分放在那里肯定是让你写的。于是思考一下链的特殊性质，链上所有点的度数\( \leq 2\)。于是考虑加入度数限制，只要有点被选择的时候度数已经为\(2\)就肯定不合法。

再考虑转移：

① \((u,v)\)不选择：\(u,v\)两点度数不变，路径条数累加，\(dp\)值累加。

② \((u,v)\)选择：（\(path\)表示路径条数）

　　·如果\(deg_u \geq 2\)或\(deg_v \geq 2\)就不能选择。

　　·如果\(deg_u=deg_v=0\)，那么\(path++\)

　　·如果\(deg_u=deg_v=1\)，那么拼成了一条新路径，\(path--\)

　　·如果\(deg_u=1,deg_v=0\)或\(deg_u=0,deg_v=1\)，相当于延伸一条路径，\(path\)不变

  然后\(dp\)值累加即可。

但是我们还是漏掉了一种情况，因为一个点就是一条退化的链，而这样\(dp\)我们是不考虑单点只考虑边的。翻看题解我们想到把一个单点进行度数限制，于是我们假设选单点\(=\)选自环，其度数为\(2\)，那么这个点成为单独的一条路径之后就不能和其它点进行拼接了。

考虑\(dp\)状态的边界：\(f_{i,0,0}=0,f_{i,1,2}=0\)。就表示根选了\(0\)条链度数为\(0\)价值为\(0\)，根被选成\(1\)条单链度数为\(2\)价值为\(0\)。其它的设置成\(-inf\)。答案为\(Max(f_{i,k,0},f_{i,k,1},f_{i,k,2})\)。

还有一些细节需要慢慢调，做完这些大概可以拿到\(60pts\)。

然后考虑满分做法（参考了\(Troywar\)的博客）：

我们将连通块数作为\(x\)轴，最优解作为\(y\)轴，则图像是一个单峰上凸函数，同时相邻两点间斜率递减。证明：假设当前连通块数为\(x\)，当它变为\(x+1\)时，必然是在\(x\)时的最优解上再连接一段新的可空路径并切掉一部分可空路径，当补上一条新路径时，由最优性可知，这次加上的路径\(-\)切掉的路径所获得的价值一定比原来小。于是相邻点之间的斜率肯定是单调递减的。

考虑二分这个斜率并将图像减去斜率对应的正比例函数，那么新图像的最高点将会在这个斜率对应点的位置，同时也是一个斜率递减函数，这时候答案为：（新图像上最高点的）权值\(+\)连通块数\(\times\)斜率。如何计算？回想\(dp\)过程，我们把第二维的\(k\)去掉，设为\(f[i][0/1/2]\)，含义即\(60pts\)中提到的表示\(i\)的度数为\(0/1/2\)时的最优解和连通块个数。当\(i\)自己为一个连通块的时候，\(2\)就表示这三个状态的最优解。

考虑新的转移：（写累加的就是\(+=\)，不写累加的就是取\(Max\)）

①\(f[u][0]\)：

　　·累加\(f[v][2]\)

②\(f[u][1]\)：

　　·累加\(f[v][2]\) 

　　·\(f[u][0]\)和\(f[v][1]\)的合并

　　·\(f[u][0]\)和\(f[v][0]\)的合并

③\(f[u][2]\)：

　　·累加\(f[v][2]\)

　　·\(f[u][1]\)和\(f[v][0]\)的合并

　　·\(f[u][1]\)和\(f[v][0]\)的合并

然后这是带权二分，用\(wqs\)二分即可。得到结果后与\(k+1\)个连通块时的最优解比较大小，如果大于说明斜率过小还可以调大，否则调小。

 

\(IIIDX\)

难度评分：提高\(+\)

题意是给定\(n,k\)以及\(n\)个数\(d_1,d_2,\cdots ,d_n\)，其中\(k\)是小数其余是整数，要求求出一种排序方式满足\(\forall d_i \geq d_{\lfloor \frac{i}{n} \rfloor}\)，而且在合法情况下越靠前值越大越好，要求输出方案。

\(55pts\)肯定是把\(\lfloor \frac{i}{n} \rfloor\)和\(i\)之间连边，然后贪心一下：\(dfs\)回溯的时候赋予栈顶目前可用最大值就行。

满分做法的关键在于遇到相同的怎么处理。我们假设我们得到了子树的\(dfs\)序，然后我们把所有权值从大到小排序。考虑对于一个\(x\)，我们在什么情况下把\(x\)赋给\(i\)：当且仅当\(\geq x\)的且还没被拿来使用的数\(\geq size_i\)，其中\(size_i\)表示以\(i\)为根的子树大小。为什么呢？因为至少\(i\)的子树里面的数都\(\geq i\)所拥有的值，也就是至少\(size_i-1\)个数比\(i\)要大。然后我们假设我们为\(i\)的子树预留了一些值，虽然不知道预留了哪些值，但是一定预留了\(size_i\)个值，所以提前透支掉后面的，把后面可用的减去\(size_i\)个。于是我们用线段树维护对于\(i\)，当前可用的放在\(i\)子树里面的值，然后在线段树上二分即可。

 

秘密袭击\(CoaT\)

难度评分：提高\(+\)

题意是给定一棵有点权的树，在树上选出一些点可形成连通块，求所有连通块的第\(k\)大权值和\(mod\ \ 64123\)。

这个题的官方正解非常复杂，是线段树+\(FFT\)，实际上完全可以按照优化暴力的思路去解决问题。

首先考虑暴力，枚举一个第\(k\)大权值\(val\)，然后树形\(dp\)算出来多少个连通块有\(\geq k\)个\(\geq val\)的值。这样做复杂度难以承受。

考虑优化这个暴力，二分不太行，但是可以缩小枚举范围，就是枚举到最多\(k\)个值\(\geq val\)的那个\(val\)就行。然后\(dp\)的时候不考虑\(< k\)的，直接考虑\(\geq k\)的方案数。这样优化基本就能过了。

 

劈配\(mentor\)

难度评分：提高

题意是给定\(A,B\)两个集合，给出\(A\)想要的\(B\)中的元素并且按照喜爱度排序，优先要喜爱度高的\(B\)，以及\(B\)最多同时被多少个\(A\)中的元素拥有并且\(B\)优先要排名高的\(A\)，请求出最优方案，以及每个\(A\)的排名要往前多少才能满足他的理想\(B\)。

首先看数据范围\(n,m \leq 200\)，就知道这是送分题。由“两个集合”的提示想到二分图匹配，但这个题有很多备选匹配，怎么办呢？利用匈牙利算法的思想，我们匹配一个人和他现在的理想导师，如果导师的弟子没满就直接配给他，如果满了就试试看能不能挤掉导师的一个弟子让这个弟子去匹配。在求的过程中顺便记录答案就行了。

一双木棋\(chess\)

难度评分：普及\(+\)

一看\(n,m \leq 10\)，直接\(Min-Max\)搜索\(+ \alpha - \beta \)剪枝即可。

制胡窜\(cutting\)

难度评分：\(NOI-\)

题意是给定一个字符串，\(m\)次询问每次一个区间\([l,r]\)，让你求出有多少合法的\(i,j\)，满足把整个字符串分成\([1,i],[i+1,j-1],[j,n]\)三个部分，使得每个部分都含有\([l,r]\)。

做法\(1\)是考虑容斥，\(+\)至少左边/中间/右边有的，\(-\)左中/左右/中右有的，\(+\)左中右都有的。

做法\(2\)是正难则反，也就是用总的\(-\)不合法的。

我用的是做法\(2\)。还是考虑不同段的贡献。可以先找到出现串\([l,r]\)的最早结束位置和最晚结束位置（后缀树上倍增对应到相应位置的线段树上再在线段树上二分即可）记为\(lpos,rpos\)，于是\(ans=\sum_{i=lpos}^{rpos} \ \)第一次出现与第\(i\)次出现的交\(\times\)最后一次出现与第\(i+1\)次出现的交。

但还要考虑两种特殊情况：

1、较靠前的断点不切断任意的字符串，那么它一定在询问串第一次出现之前，并且第二个断点要恰好切断所有字符串，第二个断点的取值范围是询问串所有出现位置的并。
2、较靠前的断点切断了所有的字符串，那么较靠后的端点只需要满足在较靠前的断点之后即可，那么可能的方案数是一个等差数列的各项之和。

所以我们对\(i=lpos,i=rpos\)特殊处理，其他的\(i\)就计算\(\sum_{i=lpos+1}^{rpos-1} \ (R_{i+1}-R_i) \times \ (R_{i+1}-L_{last}+1) \)，其中\(L_i,R_i\)表示第\(i\)次出现这个串的位置的左右端点。然后相邻位置的信息可以在线段树上就顺便维护出来。

注意是数字串\(QwQ\)。虽然说起来不难但是细节特别多。