题解 loj #3524. 「IOI2021」钥匙
考虑暴力，以每个点为起点走下去，看能到达多少个点，最后返回每个点可到达的点是否是最小值即可。可以获得 \(37pts\) 。
发现如果要求每个点能到达多少个点是没法做的，但我们根本不需要求这个，我们只需要求是否是最小值就可以了。
观察性质，如果从 \(x\) 出发可以到达 \(y\) ，那么\(p_x \geq p_y\) 。如果严格大于，那么必须 \(x\) 能到 \(y\) 但是 \(y\) 不能回到 \(x\) ，这时 \(x\) 一定不是最小值，可以把它扔了。
接着发现如果 \(x\) 不合法，那么所有可以到达 \(x\) 的都不合法，都可以扔掉。
于是假设我们维护了一堆强连通分量，那么每个强连通分量里面如果有一个不合法的这一整个就废了。
考虑这样一个过程：我们维护一个栈，栈里面是一堆强连通分量，他们构成了一条链。我们自顶向下不断扩展点，假设原来的点是 \(u\) ，新扩展的点是 \(v\) 。如果 \(v\) 不合法，那么把 \(u\) 所在的强连通分量废掉；如果 \(v\) 恰好被扩展过了，说明可以把 \(v\) 并到 \(u\) 所在的强连通分量里面；如果 \(v\) 没扩展过，那就考虑它能不能回来，判断它是否有用。
这样最后没用的点都会被删掉，只留下有用的。合并的时候可能要用线段树合并，复杂度应该是 \(O((n+m)\log n)\) 的。（代码还没写，明天早上起来写。）
先放一下暴力代码吧。
upd : 代码写了，但是写的时候出了一堆锅，最后还借鉴了别人的代码。真的就水平不行啊。
37pts
#include <vector>
#include "keys.h"
using namespace std;
const int N=1000005;
vector<pair<int,int> > g[N];
vector<int> e[N];
int p[N],q[N];
bool vs[N],usd[N];
std::vector<int> find_reachable(std::vector<int> r, std::vector<int> u, std::vector<int> v, std::vector<int> c) {
std::vector<int> ans(r.size(), 1);
const int n=r.size();int i,j,minn=1e9,top1,top2;
for(i=0;i<u.size();++i) g[u[i]].push_back(make_pair(v[i],c[i])),g[v[i]].push_back(make_pair(u[i],c[i]));
for(i=0;i<n;++i){
for(j=0;j<n;++j) vs[j]=0,e[r[j]].clear(),usd[r[j]]=0;
top1=top2=0,q[++top2]=i,vs[i]=1,usd[r[i]]=1;
while(top1<top2){
const int top=q[++top1];
for(const auto&p : g[top]) (!usd[p.second])?e[p.second].push_back(p.first),0:(!vs[p.first]?vs[p.first]=1,q[++top2]=p.first:0);
if(!usd[r[top]]){
usd[r[top]]=1;
for(const int&p : e[r[top]]) !vs[p]?vs[p]=1,q[++top2]=p:0;
e[r[top]].clear();
}
}
for(j=0;j<n;++j) p[i]+=vs[j];
if(p[i]<minn) minn=p[i];
}
for(i=0;i<n;++i) ans[i]=(p[i]==minn);
return ans;
}
100pts
#include <vector>
#include <set>
#include "keys.h"
using namespace std;
const int N=1000005;
set<pair<int,int> > g[N];
set<int> have[N];
vector<int> reach[N];
int n,m,fa[N],sz[N],in[N],tag[N],sta[N],top;
void ckMin(int &p,int q){p=(p<q?p:q);}
int fd(int x){return fa[x]^x?fa[x]=fd(fa[x]):x;}
void mer(int u,int v){
u=fd(u),v=fd(v);
if(g[u].size()+have[u].size()+reach[u].size()>g[v].size()+have[v].size()+reach[v].size()) std::swap(u,v);
fa[u]=v,sz[v]+=sz[u];
for(const auto&p : reach[u]) reach[v].push_back(p);
reach[u].clear();
for(const auto&p : have[u]){
auto pos=g[v].lower_bound(make_pair(p,0));
while(pos!=g[v].end()&&pos->first==p) reach[v].push_back(pos->second),pos=g[v].erase(pos);
have[v].insert(p);
}
have[u].clear();
for(const auto&p : g[u])
if(have[v].count(p.first)) reach[v].push_back(p.second);
else g[v].insert(p);
g[u].clear();
}
void run(int x){
sta[++top]=x,tag[x]=1;
while(top){
if(reach[x=sta[top]].empty()){tag[x]=2,--top;continue;}
int u=fd(reach[x].back());reach[x].pop_back();
if(!tag[u]){sta[++top]=u,tag[u]=1;continue;}
if(tag[u]==2) continue;
while(sta[top]!=u) mer(x,sta[--top]);
sta[top]=fd(x);
}
}
void ck(int u,int v,int col){
u=fd(u),v=fd(v);
if(u==v) return;
in[u]+=(have[u].count(col)?1:0);
in[v]+=(have[v].count(col)?1:0);
}
std::vector<int> find_reachable(std::vector<int> r, std::vector<int> u, std::vector<int> v, std::vector<int> c) {
std::vector<int> ans(r.size(), 0);
n=r.size(),m=u.size();int i,mn=1e9;
for(i=0;i<m;++i){
if(c[i]==r[u[i]]) reach[u[i]].push_back(v[i]);
else g[u[i]].insert(make_pair(c[i],v[i]));
if(c[i]==r[v[i]]) reach[v[i]].push_back(u[i]);
else g[v[i]].insert(make_pair(c[i],u[i]));
}
for(i=0;i<n;++i) fa[i]=i,sz[i]=1,have[i].insert(r[i]);
for(i=0;i<n;++i) if(!tag[i]) run(i);
for(i=0;i<m;++i) ck(u[i],v[i],c[i]);
for(i=0;i<n;++i) if(!in[fd(i)]) ckMin(mn,sz[fd(i)]);
for(i=0;i<n;++i) if(!in[fd(i)]) ans[i]=(sz[fd(i)]==mn);
return ans;
}
