可持久化线段树

假设我们需要一棵线段树，它要在可以维护普通线段树的操作的同时还可以查询历史版本。

最zz的做法当然是建出\(m\)棵线段树，时间和空间开销都是爆炸的，但是我们可以通过每次尽可能使用原来的结点来使复杂度降为\(O(nlogn)\)

这样每次对于需要更改的结点，直接新建一个，而不是修改原来的结点，再储存一下每次的树根就可以了。

代码：

int update(int k,int l,int r,int x) //将位置x上的元素+1，返回新的树根
{
 int ind=++size;T[ind]=T[k];++T[ind].val; //新建节点
 if (l==r) return ind;

 int mid=(l+r)>>1;
 if (x<=mid)
  T[ind].l=update(T[k].l,l,mid,x);
 else
  T[ind].r=update(T[k].r,mid+1,r,x);
 return ind;
}

查找同普通线段树。

---

主席树：

我们考虑这样一棵可持久化线段树：对于长度为\(n\)的数组A，我们每次将位置为A[i]的元素数量+1（即第\(i\)棵树的区间\([l,r]\)维护的是数组A[1...i]中值在\([l,r]\)的个数，预处理复杂度是\(O(nlogn)\)的，这样我们就可以用T[r]-T[l-1]来求得数组A[l,r]的值出现在一区间的个数，这在求第K大元素等问题上有很大帮助。