21天的一周与无尽的金秋

题目大意：

给出一个长为\(n\leq200\)的序列，\(k\leq50\)种括号，给出每个位置出现对应括号的概率，求最后序列合法的概率

题目解析：

首先不难想到区间DP（Whx：区间DP？你还是too young，我见过的括号匹配的题，不知道高到哪里去了），我们设\(F[i][j]\)为区间\([i,j]\)括号匹配合法的概率，但是如果我们每次枚举中间断点，会出现重复的情况（例如三个括号在两个断点被算两次的情况）。

所以我们先用全概率预处理出位置\(l,r\)出现一组合法括号的概率，然后对于每个区间，枚举它左端点的括号对应的右括号的位置，这样每次枚举的方案一定不重复，所以：$$F[l][r] = \sum_{i=l+1}^r F[l+1][i-1]p[l][i]F[i+1][r]$$

这种方法同样适合其他一些括号匹配Dp问题

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题目大意：

给出一个\(n\leq1000\)个点，\(m\leq n^2\)条边的无向连通图，求它的一棵生成树，使得从结点1到任意结点的距离等于在原图中的到这个结点最短距离，要求输出方案数。

题目解析：

首先跑最短路构造出最短路图，问题就变成了图的生成树数。然后有一个玄学的结论：如果我们给每个大于1的点选一个父亲结点，那这个图一定连通！

证明也是不难的，归纳一下即可（问题是根本想不到），于是答案就是每个点前缀点个数之积了。