树上差分

差分：

在我忘了哪年的NOIP题目——借教室中，由于一些选手的智（xia）慧（gao），出现了一种新的做法：前缀和差分。

举例来说，假设我们现在有一个长为\(n\)的数组，值初始为0，给出若干操作\([l,r]\)，每次操作把区间\([l,r]\)的所有数加1，在执行所有操作后查询一次各点的值。

我们暂且不管线段树之流，如果只有一次操作，我们可以在\(O(1)\)时间内完成每次操作，在\(O(n)\)时间内完成最后的查询，方法是：我们对于每个操作，设定一个初始全部为0的S数组，对于每次查询\([l,r]\)，我们执行\(S_l+1,S_r-1\)，这样最后查询算出S数组的前缀和即可得出它的A值。

自此，差分成为一种鲜在正式书籍中出现的黑科技广泛流传，同理，它也可以被用来高效维护树上的某些数据。

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树上差分：

假设我们把刚刚的序列操作放在树上，每次给出一组操作\([u,v]\)，将从结点\(u\)到结点\(v\)路径上的所有点的权加1（初始为0），最后一次查询。

我们先将它变为有根树，每次操作时执行：$$A_u+1,A_v+1,A_{lca(u,v)}-2$$

然后我们定义一个结点的S值为：\(S_k=\sum_{v∈k.son}S_v+A_k\)

这样一个结点的S值就等于它与父亲连边被覆盖的次数

这样我们就可以在\(O(logn)\)的时间内完成单次操作，在\(O(n)\)时间内完成单次查询

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一些例子：

NOIP2015 D2T3 运输计划 : http://www.cnblogs.com/Krew/p/5943570.html

Gym 100339 Diversion：