前缀和的优化

一维前缀和

这个优化主要是用来在O（1）时间内求出一个序列a中,a[i]+a[i+1]+……+a[j]的和。

具体原理十分简单：用sum[i]表示（a[1]+a[2]+……+a[i])，其中sum[0]=0，则（a[i]+a[i+1]+……+a[j]）即等于sum[j]-sum[i-1]。

二维前缀和

同理，有一维就有二维。对于一个矩阵a，我们也能在O（1）时间内求出子矩阵[x1_x2][y1y2]的和。

设sum[i][j]为子矩阵[1_i][1j]的和。则由容斥原理得：

sum[0][j]=sum[i][0]=0

a[x1_x2][y1y2]=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]

应用问题

核心就两个字：降维。

面对许多高维问题，往往前缀和是最先想到的降维方法。
这样在降维的基础上，许多更进一步的优化才能实现。