69. x 的平方根

69. x 的平方根

‌开平方根的方法主要有以下几种‌：

1. ‌分母有理化法‌：这种方法适用于处理无理数的平方根。具体步骤包括：

   • 设 $a = \sqrt{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 均为非负实数。
   • 对 $a$ 进行分母有理化：$a = \frac{b-1}{b+1}$。
   • 解方程 $ax^2 + bx + c = 0$，求解得到 $x_1$ 和 $x_2$ 分别为 $a$ 和 $b$ 的平方根。‌

2. ‌牛顿迭代法‌：这是一种通过迭代逼近求解平方根的方法。步骤如下：

   • 设 $a$ 为要求平方根的数，初始值 $x_1 \approx \pm \sqrt{a}$。
   • 根据迭代公式 $x_{n+1} = x_n + \frac{a}{x_n}$，不断迭代直到满足一定的收敛条件。
   • 当 $|x_{n+1} - x_n| < \epsilon$（$\epsilon$ 为一个足够小的正数）时，认为找到了一个足够精确的平方根。

3. ‌二分法‌：通过不断缩小搜索范围来逼近平方根。步骤如下：

   • 设 $a$ 为要求平方根的数，取区间 $[0, \sqrt{a}]$ 作为搜索范围。
   • 取区间中点 $x = \frac{\sqrt{a} + 0}{2}$，计算 $f(x) = \frac{a}{x} - x^2$。
   • 根据 $f(x)$ 的正负性调整搜索范围，重复执行步骤，直到找到精确的平方根或达到预设的精度要求。

4. ‌笔算开平方法‌：适用于求任何正数的算术平方根。步骤包括：

   • 将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开。
   • 根据左边第一段中的数，求得平方根的最高位上的数。
   • 从第一段的数中减去最高位上数的平方，形成第一个余数。
   • 用求得的最高位数乘以2试除第一个余数，得到的最大整数作为试商。
   • 用同样的方法继续求平方根的其他各位上的数。‌1

‌平方根的定义和性质‌：平方根表示为 $\pm \sqrt{a}$，其中非负数的平方根被称为算术平方根，表示为 $\sqrt{a}$。正数的平方根有两个值，互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。‌2

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function(x) {
    if (x < 0) {
        return -1;
    }
    if (x === 0 || x === 1) return x;
    let left = 0, right = x;
    while (left <= right) {
        let mid = Math.floor((left + right) / 2);
        if (mid * mid <= x && (mid + 1) * (mid + 1) > x) {
            return mid;
        } else if (mid * mid < x) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 出现意外行为时回退返回
    return left;
};

console.log(mySqrt(5));  // 输出应该是2

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