10.24集训解题报告

T1 方程（ $equation$ ）

题面：

给定 $4$ 个正整数 $a$, $b$, $c$, $d$，并且保证 $c$ $×$ $d$ $≤$ $10^6$，请你求出有多少组正整数对 $(x, y)$ 满足如下方程：

\[\frac{a}{x}+\frac{b}{c}=\frac{d}{y} \]

本题共 $20$ 个测试点，每个测试点 $5$ 分。
• 对测试点 $1$，保证 $T = 0$。
• 对测试点 $2$ ∼ $16$，共 $15$ 个测试点。$a$, $b$, $c$, $d$ 四个数中至少存在一个数为 $1$ 共 $15$ 种情况，
每个测试点对应一种情况。
• 对测试点 $17$ ∼ $20$，没有特殊约定。
对全部的测试点，保证 $0 ≤ T ≤ 20$，$1 ≤ a, b, c, d ≤ 10^6$，$c × d ≤ 10^6$。

思路：

化一下式子：
先通分：

\[acy+bxy=cdx \]

然后就：

\[cdx-bxy=acy \]

\[x(cd-by)=acy \]

\[x=\frac{acy}{cd-by} \]

因为 $cd$ 不超过 $10^6$，所以直接枚举 $y$。

ll a, b, c, d; 
ll ans;
int T;
int main(){
	T=read();
	while(T--) {
		ans=0;
		a=read(); b=read(); c=read(); d=read();
		for(ll y=1; b*y<c*d; ++y) {
			if(a*c*y%(c*d-b*y)==0) ++ans;
		}
		cout<<ans; putchar('\n');
	}
}

T2 异或数列 ( $xor$）

题面：

R 老师给了你一个数列 $a_1, a_2, . . . a_n$。数列中的数都是非负整数。
R 老师会进行 $q$ 次操作，每次操作会给你两个数字 $p$, $x$，要求你把 $a_p$ 和 $a_{p+1} 都对 $x$ 做一次按位异或。每次操作完后，你必须告诉 R 老师，当前的数列里有多少个子区间 $[l, r]$ 满足 $l ≤ r$ 且区间按位异或和为 $0$。
• 对 $10\%$ 的数据，保证 $n, m ≤ 100$。
• 对 $20\%$ 的数据，保证 $n, m ≤ 300$。
• 对 $40\%$ 的数据，保证 $n, m ≤ 3000$。
• 对 $70\%$ 的数据，保证 $n, m ≤ 10^5$，$a_i , x ≤ n$。
• 对 $100\%$ 的数据，保证 $1 ≤ n, m ≤ 10^6，$1 ≤ a_i, x ≤ 10^9，1 ≤ p ≤ n$

思路:

非常套路的，先求一个异或前缀和，区间异或和为 $0$ 当且仅当 $r$ 和 $l-1$ 位置上的异或前缀和相等，初始的答案很好算，从左往右扫过去就行。
显然的，原数组就是前缀和数组的差分数组，所以题目让把 $a_p$ 和 $a_{p+1}$ 都异或 $x$，就是让 $p$ 位置的前缀和数组异或上 $x$。
那么他产生的贡献就是，先把原来的贡献减掉，然后这个点作为右端点把左边与这个位置新的值相同的个数加上，再以这个点为左端点把右边相同的个数加上。
总的看来，就是先把所有的异或前缀和的值存起来，算个数，然后改的时候，把所有和这个位置改之前一样的减去，再把所有和改之后一样的值加上。
$unordered$_$map$ 减小常数。

代码：

int n, m, p, x;
int sz[1000006];
ll ans;
unordered_map<int, int>mp;
int main(){
	n=read(); m=read();
	mp[0]++;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		sz[i]=read();
		sz[i]^=sz[i-1];
		ans+=mp[sz[i]]++;
	}
	while(m--) {
		p=read(); x=read();
		ans-=-1+mp[sz[p]]--;
		sz[p]^=x;
		ans+=mp[sz[p]]++;
		cout<<ans; putchar('\n');
	}
}

T3 制胡串问题 ( $string$ )

题面：

用 $S_i$ 表示字符串 $S$ 的第 $i$ 个字符，我们定义一个 $01$ 串 $A$ 可以匹. 配. 一个只含字符 $0$, $1$, $?$
的字符串 $B$ 当且仅当如下条件满足：

$A$ 和 $B$ 的长度相等。
若 $B_i = 0$，则 $A_i = 0$。
若 $B_i = 1$，则 $A_i = 1$。
若 $B_i = ?$，则 $A_i$ 可以为 $0$，也可以为 $1$。
现在，R 老师会有 $q$ 次操作，操作共有两种：
给定 $[l, r]$，查询有多少字符串 $S$，满足 S 能匹配 $[l, r]$ 内的所有字符串。
给定 $x$ 和一个字符串 $s$，将第 $x$ 个字符串换成 $s$。保证 $s$ 也是长度为 $n$ 的只含 $0, 1, ?$的字符串。

测试点编号	m=	q=	n=
1∼3	102	102	10
4~6	1003	1003	10
7~9	1004	1004	30
10~12	100005	500005	1
13~14	100006	50006	30
15~20	100007	1000007	30

思路：

直接 $30$ 棵线段树。

int n, m, q;
int bj[400100][31];
char c[100010][35];
char s[35];
int ans[31];
int Ans, re;
bool flag;
int sta[31], top;
inline void push_up(int g) {
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		if(bj[g<<1][i]==3||bj[g<<1|1][i]==3) {bj[g][i]=3; continue ;}
		if(bj[g<<1][i]==bj[g<<1|1][i]) {bj[g][i]=bj[g<<1][i]; continue ;}
		if(bj[g<<1][i]==2||bj[g<<1|1][i]==2) bj[g][i]=min(bj[g<<1][i], bj[g<<1|1][i]);
		else bj[g][i]=3;
	}
}
inline void push_up2(int g) {
	for(int j=1; j<=top; ++j) {
		int i=sta[j];
		if(bj[g<<1][i]==3||bj[g<<1|1][i]==3) {bj[g][i]=3; continue ;}
		if(bj[g<<1][i]==bj[g<<1|1][i]) {bj[g][i]=bj[g<<1][i]; continue ;}
		if(bj[g<<1][i]==2||bj[g<<1|1][i]==2) bj[g][i]=min(bj[g<<1][i], bj[g<<1|1][i]);
		else bj[g][i]=3;
	}
}
inline void build(int g, int l, int r) {
	if(l==r) {
		scanf("%s", c[l]);
		for(int i=0; i<n; ++i) {
			if(c[l][i]=='0') bj[g][i]=0;
			if(c[l][i]=='1') bj[g][i]=1;
			if(c[l][i]=='?') bj[g][i]=2;
		}
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(g<<1, l, mid); build(g<<1|1, mid+1, r);
	push_up(g);
}
inline void Change(int g, int l, int r, int x) {
	if(l==r) {
		for(int j=1; j<=top; ++j) {
			int i=sta[j];
			if(c[l][i]=='0') bj[g][i]=0;
			if(c[l][i]=='1') bj[g][i]=1;
			if(c[l][i]=='?') bj[g][i]=2;
		}
		return ;
	} int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) Change(g<<1, l, mid, x); 
	else Change(g<<1|1, mid+1, r, x);
	push_up2(g);
}
inline void update(int g) {
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		if(bj[g][i]==3||ans[i]==3) {ans[i]=3; flag=0; return;}
		if(bj[g][i]==ans[i]) continue ;
		if(bj[g][i]==2||ans[i]==2) ans[i]=min(ans[i], bj[g][i]);
		else {ans[i]=3; flag=0; return ;}
	}
}
inline void SUM(int g, int l, int r, int L, int R) {
	if(!flag) return ;
	if(L<=l&&r<=R) {
		update(g);
		return ;
	} int mid=l+r>>1;
	if(L<=mid) SUM(g<<1, l, mid, L, R);
	if(R>mid) SUM(g<<1|1, mid+1, r, L, R);
}
int main(){
	n=read(); m=read(); q=read();
	build(1, 1, m);
	while(q--) {
		int op=read();
		if(op) {
			int x=read(); scanf("%s", s);
			top=0;
			for(int i=0; i<n; ++i) if(c[x][i]!=s[i]) c[x][i]=s[i], sta[++top]=i;
			if(top)
			Change(1, 1, m, x);
		}
		else {
			int l=read(), r=read();
			for(int i=0; i<n; ++i) ans[i]=2;
			flag=1;
			SUM(1, 1, m, l, r);
			if(!flag) continue ;
			re=1;
			for(int i=0; i<n; ++i) {
				if(ans[i]==2) re*=2;
				if(ans[i]==3) {re=0; break;}
			}
			Ans^=re;
		}
	}
	cout<<Ans;
}

T4 游戏（ $game$ ）

题面：

这是一款一对一回合制游戏。双方玩家各有一个属性，被称为 $delay$ 值，简称 $d$ 值。$d$ 值会根据回合中玩家使用的道具类型和数量来进行相应的增加。我们定义玩家 $x$ 的回合为玩家 $x$ 从发动攻击到结束的整个过程。在玩家 $x$ 的回合中, 只有玩家 $x$ 可以使用道具和发动攻击并且玩家 $x$ 一定会发动攻击。当一个玩家的回合结束以后，下一回合将是两个玩家中 d 值较小的玩家的回合。当两个玩家的 $d$ 值相同时，因为小 A 氪金很多，下一回合一定是小 A 的回合。
这款游戏共有 $m$ 种道具，第 $i$ 种道具会将本回合的伤害增加不计算其他道具的原始伤害的 $\frac{ki}{10^5}$ 倍，同时会增加 $p_i$ 点 $d$ 值。每回合每种道具只能使用一次，本回合的道具不会对下回合产生伤害增益效果。同时，每回合结束以后，发动攻击的玩家一定会增加 $w$ 点 $d$ 值。
而使用道具是受到双方 $d$ 值差限制的。具体的，任何回合所使用的道具应该满足本回合结束以后双方 $d$ 值（包括发动攻击的玩家一定增加的 $w$ 点 $d$ 值）之差的绝对值不超过 100。
一个显然的事实是，只要保证了 $w ≤ 100$，玩家就一定存在一种选择道具的方法（包括不选择），来满足这个限制。
例如，在小 A 的回合中，若她的原始伤害 $t = 10^5$，初始时 $d$ 值 $d_0 = 3$，规定 $w = 2$，她
使用了两个道具，$k_1 = 114，k_2 = 514，p_1 = 19，p_2 = 81$，那么本回合她造成的伤害为

\[t + t × k_1 + t × k_2 = 105 + 114 + 514 = 100628 \]

她回合结束后的 $d$ 值为

\[d0 + w + p_1 + p_2 = 3 + 2 + 19 + 81 = 105 \]

而假如下回合还是-她的回合，并且她没有使用道具，那么她下回合造成的伤害为

\[t = 100000 \]

她下回合结束后的 $d$ 值为

\[10^5 + w = 10^5 + 2 = 107 \]

现在，小 A 和小 B 在这个游戏中进行单挑。给定游戏的道具列表，和他们的原始伤害、$d$ 值。游戏一共会进行 $n$ 回合，不妨认为无论造成多大的伤害，双方都不会死亡。请你最大化「小 A 对小 B 造成的伤害 - 小 B 对小 A 造成的伤害」这个差的值。
当然，小 B 也会尽可能最大化「她对小 A 造成伤害 - 小 A 对她造成伤害」的值。不妨认为双方都绝顶聪明，也就是他们都会选择最优的策略来使用道具而不会出错，题目所求即为在这种情况下伤害差的最大值。

测试点编号	n ≤	m ≤
1	0	10$^5$
1	0	10$^5$
2~3	10$^3$	0
4~6	5	5
7~10	3	10$^5$
11~14	10$^3$	10
15~20	10$^3$	10$^5$

对于全部的测试点，保证 $0 ≤ n ≤ 10^3，0 ≤ m ≤ 10^5，1 ≤ p_i , w ≤ 100，1 ≤ x_a, x_b, k_a, d_a, d_b ≤10^9$，$x_a$ 与 $x_b$ 是 $10^5$ 的倍数，$1 ≤ |d_a − d_b| ≤ 100$。

思路：赛时没有思路。

代码：

if(n==0) return putchar('0'), 0;
if(m==0) {
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		if(da<=db) da+=w, ans1+=xa;
		else db+=w, ans2+=xb;
	}
	cout<<ans1-ans2;
	return 0;
}

posted @ 2022-10-24 23:00 Konnya_ku 阅读(34) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

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Konnyaku41377

A的绝对值能不能小于O的绝对值呢

10.24集训解题报告

T1 方程（ \(equation\) ）

题面：

思路：

T2 异或数列 ( \(xor\)）

题面：

思路:

代码：

T3 制胡串问题 ( \(string\) )

题面：

思路：

T4 游戏（ \(game\) ）

题面：

思路：赛时没有思路。

代码：

公告

测试点编号	n ≤	m ≤
1	0	10\(^5\)
1	0	10\(^5\)
2~3	10\(^3\)	0
4~6	5	5
7~10	3	10\(^5\)
11~14	10\(^3\)	10
15~20	10\(^3\)	10\(^5\)