【BZOJ 2839】 2839: 集合计数 (容斥原理)

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得
它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

     对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;

 

 

【分析】

  我的容斥好垃圾哦。。。

  答案=至少交集为k-至少交集为k+1+至少交集为k+2

  注意‘至少’的意义。如若不是,那么是不需要容斥的。而是答案=至少交集为k-交集为k+1-交集为k+2-交集为k+3。。。

  算‘至少’好算多了,你只要保证了有k个,后面的东西都随便了。

  

从n个数中选出k个作为交集中的数,是C(n,k),这样的集合共有2^(2^(n-k))-1个

2^(n-k)是包含选定的k个数的可选集合的数量,选取方案有2^(2^(n-k))-1个(不能有空集否则无法保证k个元素)

所以ans=C(n,k)*C(k,k)*(2^(2^(n-k))-1)-C(n,k+1)*C(k+1,k)*2^(2^(n-k-1)

 

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define LL long long
 8 #define Maxn 1000010
 9 const int Mod=1000000007;
10 
11 int pw[Maxn],inv[Maxn],tpw[Maxn];
12 
13 void init(int n)
14 {
15     // tpw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) tpw[i]=1LL*tpw[i-1]*2%Mod;
16     pw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=1LL*pw[i-1]*i%Mod;
17     inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1LL*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
18     inv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%Mod;
19 }
20 
21 int qpow(int x,int b,int p)
22 {
23     int ans=1;
24     while(b)
25     {
26         if(b&1) ans=1LL*ans*x%p;
27         x=1LL*x*x%p;
28         b>>=1;
29     }
30     return ans;
31 }
32 
33 int get_c(int n,int m)
34 {
35     return 1LL*pw[n]*inv[n-m]%Mod*inv[m]%Mod;
36 }
37 
38 int f[Maxn];
39 int main()
40 {
41     int n,k,ans=0;
42     scanf("%d%d",&n,&k);
43     init(n);
44     for(int i=n;i>=k;i--)
45     {
46         f[i]=1LL*(qpow(2,qpow(2,n-i,Mod-1),Mod)-1)*get_c(n,i)%Mod*get_c(i,k)%Mod;
47     }
48     for(int i=k+1;i<=n;i++)
49     {
50         if((i-k)&1) f[k]-=f[i];
51         else f[k]+=f[i];
52         f[k]%=Mod;
53     }
54     f[k]=(f[k]+Mod)%Mod;
55     printf("%d\n",f[k]);
56     return 0;
57 }
View Code

 

2017-04-19 10:44:21

posted @ 2017-04-19 10:44  konjak魔芋  阅读(208)  评论(0编辑  收藏  举报