反悔贪心
反悔贪心
0x00 引子
作为一个比较诡异的算法，我一直没能悟到它的精髓，最近来看，占位符好像是反悔贪心的核心，所以本文会着重于体现占位符的重要性和占位符的应用。本文也算收拾一下之前的烂摊子，把思路整理起来，统计成册，便于最后的复习与反思。
建议使用 『进阶方法篇』反悔贪心系列 配合食用。
好像有彩蛋......但不在最后~
0x10 无抽象占位的反悔贪心
我们先不提占位符这个抽象概念，在这一章并不会提到占位符，请读者自行寻找占位符可能是什么。
我们先从几道题开始入手，让各位了解反悔贪心的工作原理，并对于占位符有点印象，后面会更加深刻的讲这个占位符。
提起反悔贪心，必不能少的一定是：
[P4053 JSOI2007] 建筑抢修
这道题过于经典了，以至于很多小朋友都会做（我到现在才会）。
贪心的本质是什么，在我看来，是要用局部最优解去代换全局最优解，原因是全局最优解的时间复杂度太高了，我们只能退而求其次。然而有的时候局部最优解并不能代表全局最优解，那么贪心就废掉了。然而真的废了吗？实际上并没有。
贪心的本质是局部最优解，全局最优解的代表是 DP 和拓扑排序，两者的差距还挺大的。那我们可以估算一下，是否局部最优解和全局最优解之间差的不是特别大，就是可以通过一步 或者简单的修改，可以将局部最优解转换成全局最优解。
这道题就是一个典型。
我们考虑贪心去搞这个东西。怎么贪心呢？把所有的建筑最后的时间排一个序，然后从前往后找，到哪里就算到哪里了。
然而这个东西很容易被卡掉。
看这个数据：
2
100 100
5 101
5 101
你明明可以两个都搞的，但你在这里仅仅只能得到一个的价值。
那么我们考虑能不能使用一次更改让局部最优解变成全局最优解呢？
我们来考虑一下记录过去的操作，撤销过去的操作是否可行。经过我长时间的思考，发现确实可以。因为任何一个操作不会对于后面的操作造成影响，这里的造成影响指的是 时间的增加/贡献的增加会被造成影响。
于是我们使用一个大根堆来维护过去已经完成的操作，并且对于选的更烂的情况就直接 pop 和 ans-- 。
接下来我们要去找个加强版。
[P2949 USACO09OPEN] Work Scheduling G
不难发现，这里只是给加了个权值，然后把原来的时间长度去掉了。
那我们将计就计，直接按照权值排序，扔进小根堆里面等着 pop 就行了。
再加强一下。
P2107 小 Z 的 AK 计划
这道题简单来说就是说你有一个 \(m\) 的时间限制，然后每个东西可以选择拿或者不拿，拿了的话就是
的代价。其中， \(last\) 是上一个拿的坐标， \(now\) 很明显吧......
这道题也很版，只是代价会随时变动。
我们将计就计，把 \(\displaystyle \sum_{i=last}^{now}{x_i}\) 从原来的式子里面掏出来，然后塞到 \(t\) 里。
这个 \(t\) 我们怎么处理呢？我们对于每一个新遇到的机房，直接先把它的路程加到前缀和里面，并且也把 AK 用的时间加到里面，并把 AK 的时间扔到大根堆里面，后面怎么做就不用我教了吧，聪明的孩子自己会动的。（动什么呢？好难猜啊......原来是动动手指敲键盘啊）
哦对，最后不要忘记每次循环结束后记录答案，因为他在任意一个地方都可以结束。
我们来看一个小z的AK计划的加强。
[P3545 POI 2012] HUR-Warehouse Store
这道题就是把时间换成了商品，AK的时间换成了客人要的商品的数量，走的路程变成了进的货，要维护的把最大时间变成了不能后退。
实际上好像还不太一样……算了。
因为要维护哪一个客人的需求被满足了，所以我们要同时记录一个 i 在堆里面。后面怎么扔进去，怎么 pop 这个聪明的孩子会自己动的。
要不，中场休息一下~做一下 [猫粮]，也许能成为有猫耳的猫娘哦~
[P11628 WC2025] 猫粮
实际上这道题也是贪心，但不是反悔贪心，只是用来预防一下你们把贪心误写成反贪。
坏了，昨天做的今天忘了咋整，不能我的大脑变成猫娘的形状了吧......
喵~米纳，让我们来看看这道喵粮题吧~
看，那就是我最喜欢吃的优质喵粮，但好遗憾呢，那个喵粮很不容易抢到，于是只能随机的给一个喵，这样会让狗修金很难处理呢喵。那个是我并不是很喜欢吃的喵粮，虽然不好吃，还是可以让我饱腹的喵~因为没有那么好吃，所以主人放在哪个喵的前面，哪个喵就会吃掉它的。
狗修金向我发出了请求，让我帮助他完成对每一个喵的喵粮的分配，并让每一个喵都能吃饱，而且所有的猫粮加起来恰好能让每一个喵吃饱，总共也只有两倍喵的个数袋喵粮。
那我们就要好好想一想，怎么利用这个随机性质啊喵~我们可以发现，我们可以先随机分配一个优质喵粮，然后再那个喵前面放一个普通喵粮，让它吃饱呢喵。但是有一些喵粮并不能正好配成一对，使得他们能让一个喵吃饱/不多吃啊喵。
剩下的我们这样考虑：剩下的普通喵粮互相配对，看看能不能用两袋喵粮让一个喵吃饱，对于剩下的优质喵粮就好麻烦呢，因为喵们的争抢，它的分配是随机的，所以我们对于优质喵粮大于两袋的情况，就要让每一袋喵粮都正好是喵们饱食度的一半，等于两袋的话，就直接配对看看能不能行就好了喵~
呼呼呼呼，喵~↑大分讨还是太难了，狗修金快给我几袋优质喵粮补偿我~（逃）
欸欸欸？我怎么了？这么累，身上怎么还有猫的气味......算了算了，继续讲反贪吧。
0x20 有抽象占位符的反悔贪心
我认为各位在做过或者看过前面的题解之后，可能对于占位符已经有了一点感觉了，下面会更详细的介绍占位符这个概念。
占位符简介
我根据询问 ChatGPT 、 Copilot 、 Gemini 、 Claude 四个AI的结果，使用 Gemini 总结出了一点心得，或许能够给各位和以后的自己带来一丝触动（？
占位符实际上是反悔贪心中构造的一种虚拟决策节点。
它不代表原始问题中的实体，而是 撤销上一轮贪心决策并转向替代方案 这个复杂行为的数值化身。它将“修改历史”的操作，转化成了“在当前进行一次新的选择”。
我们观察上面的四道反贪，不难发现：
| 题目 | 占位符 | 转移 |
|---|---|---|
| 建筑抢修 | 先前建筑用时 | 直接替换 |
| work scheduling G | 先前建筑权值 | 替换并更改答案 |
| 小Z的AK计划 | AK用时 | 尝试去除后满足条件，之后替换并更改答案 |
| P3545 | 需要的货物数量 | 尝试去除后满足条件，之后替换并更改答案 |
完全一样啊。
Gemini 总结说：
占位符是反悔操作的差价凭证，其权值是“新方案收益”和“旧方案收益”的差值。
它实际上是利用了代数抵消的原理工作，它利用了 \(X+(Y-X)=Y\) 的数学性质，让看似在累加的操作变成了替换。
Gemini 比喻说：
在优先队列中，占位符是一个时光机按钮。
- 普通元素： 我现在要做这件事
- 占位符元素：我现在要撤回我刚才干的，改做另一件事
而占位符的作用有三个：
- 延迟决策 允许未来修正错误，当前可以由着性子贪心。
- 线性化逻辑 将复杂的回溯或者状态转移，转化为堆上的推入/弹出操作
- 模拟最小费用流的反向边 在图论下，占位符就是网络流中的“退流”边，选择了话，就是让流流回源点，再流向另一条路径。
那么有人要问了，占位符的应用条件是什么？
必须同时满足：
- 决策具有互斥性或者配对行：做了一个选择会导致另一个不可用。
- 反悔代价可以量化而且结构简单：撤销旧的换成新的，这个过程能够用一个加减法公式表示（如 \(A+B-C\) ）。
- 区间替换不破坏全局合法性：反悔操作只影响局部，比如只影响相邻节点或当前持仓，不会导致之前的其他决策突然变得不合法。
- 目标函数是线性的或凸的：通常是最大收益最小代价。
绝对不可用的情况：
- 决策不可逆：如果资源消耗是永久的，且非数值交换的不能用。
- 依赖关系极其复杂：如果选择了 \(A\) ,导致 \(B,C,...\) 的属性全部发生非线性的变化，无法用一个简单的占位符数值概括这种变化也不能用。
- 状态空间非单调：如果未来的最优解和当前的最优解没有通过替换可达的路径，也不能用。
而占位符是反悔贪心的灵魂，没有占位符的反悔贪心并不能称之为反悔贪心。也就是说，反悔贪心成立的条件和占位符成立的条件是相等的。
扩展：实际上我们向外看，在网络流中，实际上反悔贪心是最小费用最大流的特例，在网络流中我们使用“反向边”来实现反悔。
我建议各位可以尝试使用一下这个判定法则。在文章末尾还有更直接的判定法则。
CF865D Buy Low Sell High
经典的股票买卖问题。占位符的标准体现。
我们考虑每一天都买个股票，但是并不是真买，就是把股票的价格扔到小根堆里面，如果当前的股票价格比堆顶贵的话，就直接 pop 计算答案。但是这样就有人说了，要是有一天的时候比当前的价格更优怎么办？我们在 pop 的时候也要向里面扔一个占位符，也就是当前的价格，代表了你随时都可以替代这个价格。
那么推进去这个占位符了之后，是不是就不用往里面丢股票的价格了？答案是否定的。
我们考虑这两个 push 的含义。第一个是占位符，如果这个被使用了的话，那么也就代表着有更优的替代了它的购买，第二个是当前的股票价格，如果这个被使用的话，也就是说这个可以带来利润。如果两个都购买的话，我们发现占位符不在了，也就是说我不用在这一天购买，这一天的价格也不在了，也就代表了我们卖出了这一天的股票，这两个操作也就代表着我们从卖出变成了买入。，并没有违反题目的描述。所以这个逻辑和这个代码也就是正确的。
下面是......奇怪的 DP 改贪心？
P1484 种树 及加强版 [P1792 国家集训队] 种树
这道题也要用到上面的占位符思想。
我们考虑直接构造占位符，
对于当前种一棵树的操作，会使得两边的树不能种。那么我撤销这个操作种两边的树的话，他们的代价是固定的，是：
那么我们在 \(now\) 树上操作过后，因为它的两侧 \(left\) 和 \(right\) 树不能种了，我们就将这两棵树和当前树合在一起，并将这棵树的价值改成 \(a_{left}+a_{right}-a_{now}\) ，作为占位符使用。
但是用数组的话会消耗很大空间啊，咋整呢……双向链表！
请注意 P1792 这道题需要你搞一个循环，但 P1484 不需要。
接下来看一个加强版。
[P3620 APIO/CTSC2007] 数据备份
这道题不难看出来和上一个种树实际上很像，你把线化成点，选了一条线，两侧的线就不能选了，实际上和上一道题是一样的。
操作实际上没有什么不同，只是要看出来这个转化比较麻烦，如果看不出来的话就做不出来。
0x30 暴力判定法则
如果各位还没能悟出来怎么判定的话，可以使用这个方法尝试一下。
- 试探：我如果撤销现在的操作换成另一个，差价是多少？
- 验证：这个差价是一个固定的数吗？还是会随着其他变化而变化？
- 结论：
- 如果是固定的数（只和局部有关）\(\rarr\) 占位符成立 \(\rarr\) 可以用反悔贪心。
- 如果不行 \(\rarr\) 占位符不成立 \(\rarr\) 放弃直接考虑 DP 和网络流。
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