「反悔贪心」的再理解

「反悔贪心」的再理解

0x00 引子

建议使用『进阶方法篇』反悔贪心系列 配合食用。

自从 CSP-S 被第一题搏杀之后，我的内心一直耿耿于怀，总想着怎么一雪前耻。在长达一周的做题和翻博客中，一个奇怪的概念逐渐在我心中长了出来，它就是 占位符。

这篇文章会系统性地盘一下占位符的概念，并尝试从原理上解释它是怎么构造出来的，以及什么时候该用它。

这也算弥补了一个遗憾吧。

0x10 无抽象占位的反悔贪心

先不管占位符那个抽象词，这章不提它，大家自己找找感觉，看看占位符到底是啥。

我们先从几道题入手，搞清楚反悔贪心大概是个什么工作原理。

提起反悔贪心，祖师爷级别的题目必须是：

P4053 [JSOI2007] 建筑抢修

这题太经典了，以至于很多小朋友都会做（虽然我到现在才会）。

贪心的本质是啥？在我看来，就是想用局部最优去代换全局最优，因为全局最优（比如 DP）复杂度太高了，跑不动，只能退而求其次。但有时候局部最优也是个坑，选了这个，后面更好的就选不了了。那贪心就废了吗？也没完全废。

如果局部最优和全局最优差得不大，也就是可以通过一步简单的修改，把局部最优变成全局最优，那么就不用管了。

这道题就是个典型。

一般的贪心思路：把所有建筑按截止时间排个序，从前往后搞，能修就修。

但这样很容易被卡掉，比如你修了一个耗时巨长的，导致后面三个短的都修不完。

那我们能不能搞个“后悔药”？

经过长时间的思考（其实是看题解），发现确实可以。因为任何一个操作不会对后面的操作造成逻辑上的死锁，只会占用时间。

于是我们搞个大根堆，维护过去修过的任务里耗时最长的那个。如果我们遇到一个新任务修不完了，但它比堆顶那个耗时短，我们就反悔：把堆顶那个踢掉，换成修现在这个。

再看个加强版。

P2949 [USACO09OPEN] Work Scheduling G

这题只是把“耗时”变成了 1，加了个权值。

那我们将计就计，按截止时间排序。有空位直接做，扔进小根堆。

没空位了？看看堆顶（以前做过的利润最低的任务）。如果现在的利润比它高，直接踢掉那个，换成现在这个高薪的。

再加强一下。

P2107 小 Z 的 AK 计划

这题简单来说就是你有 \(m\) 的时间限制，路上有机房，进机房 AK 要花时间，走路也要花时间。

代价是：\(\displaystyle\sum_{i=last}^{now}{x_i}+t_{now}\) 这题也很版，只是代价会随时变动（路费一直在涨）。

我们将计就计，把路费从式子里掏出来，单独算。

对于每一个新遇到的机房，先把路程加到前缀和里，假装我们要 AK 它，把时间加进去，并把 AK 的耗时扔到大根堆里。
如果总时间爆了 \(m\) 咋整？聪明的孩子自己会动动手指把堆顶最大的那个扔出去的。

P3545 [POI 2012] HUR-Warehouse Store

这题把时间换成了商品库存，AK 的时间换成了客人要货的数量。

实际上……好像还不太一样？

算了，本质差不多。

我们要维护“已经满足的客人”的需求量。如果库存不够了，就看堆顶那个要货最多的客人，如果现在的客人要得少，就反悔不卖给之前那个神人了，省下来的货卖给现在这个。

后面怎么 push 怎么 pop，聪明的孩子依然会自己动的。

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中场休息：做一下 [猫粮]，也许能成为有猫耳的猫娘哦（大雾）

P11628 [WC2025] 猫粮

实际上这道题也是贪心，但不是反悔贪心。放在这纯粹是为了防止你们做题做魔怔了，看见贪心就想反悔。

坏了，昨天做的今天忘了咋整，不能我的大脑变成猫娘的形状了吧……

喵~ 米纳，让我们来看看这道喵粮题吧~

（此处省略一万字发癫过程，大意就是这题是构造 + 匹配，利用随机性质去填坑，而不是先选再撤回，喵粮全被我吃了，这题撤不回来的喵。）

大分讨还是太难了，狗修金快给我几袋优质喵粮补偿我~（逃）

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咳咳，刚才被盗号了。继续讲反贪。

0x20 有抽象占位符的反悔贪心

我认为各位在做过或者看过前面的题解之后，可能对于占位符已经有了一点感觉了，下面会更详细的介绍占位符这个概念。

占位符简介

我根据询问 ChatGPT 、 Copilot 、 Gemini 、 Claude 四个AI的结果，使用 Gemini 总结出了一点心得，或许能够给各位和以后的自己带来一丝触动（？

占位符实际上是反悔贪心中构造的一种虚拟决策节点。

它不代表原始问题中的实体，而是 撤销上一轮贪心决策并转向替代方案 这个复杂行为的数值化身。它将“修改历史”的操作，转化成了“在当前进行一次新的选择”。

我们观察上面的四道反贪，不难发现：

题目	占位符	转移
建筑抢修	先前建筑用时	直接替换
work scheduling G	先前建筑权值	替换并更改答案
小Z的AK计划	AK用时	尝试去除后满足条件，之后替换并更改答案
P3545	需要的货物数量	尝试去除后满足条件，之后替换并更改答案

完全一样啊。

Gemini 总结说：

占位符是反悔操作的差价凭证，其权值是“新方案收益”和“旧方案收益”的差值。

它实际上是利用了代数抵消的原理工作，它利用了 \(X+(Y-X)=Y\) 的数学性质，让看似在累加的操作变成了替换。

Gemini 比喻说：

在优先队列中，占位符是一个时光机按钮。

• 普通元素： 我现在要做这件事
• 占位符元素：我现在要撤回我刚才干的，改做另一件事

而占位符的作用有三个：

1. 延迟决策 允许未来修正错误，当前可以由着性子贪心。
2. 线性化逻辑 将复杂的回溯或者状态转移，转化为堆上的推入/弹出操作
3. 模拟最小费用流的反向边 在图论下，占位符就是网络流中的“退流”边，选择了话，就是让流流回源点，再流向另一条路径。

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CF865D Buy Low Sell High

经典的股票买卖问题。占位符的标准体现。

我们每天拿到价格 \(p\)，先把 \(p\) 扔进小根堆（当作买入机会）。
如果 \(p>\) 堆顶，说明有钱赚！我们取出堆顶 \(x\)，假装赚了 \(p-x\)。

但这里有个问题：万一我不该在今天卖，而是应该留到后面更贵的日子卖呢？
或者说，我是不是把今天当成了一个买入点更合适？

我们在 pop 掉 \(x\) 并计算利润的同时，要再往堆里扔一个 \(p\)。这就是占位符。

为什么要 push 两次？代码里通常是这样写的：

q.push(p);
if(p>q.top()){
    ans+=p-q.top();
    q.pop();
    q.push(p);
}

• 第一个 push：把今天当作一个新的买入点，以后可以卖出。

• 第二个 push：如果我们以后用了这个占位符（即把它作为买入价配对了一个更贵的 \(p_{nxt}\)），收益计算过程如下：\((p-\min)+(p_{nxt}-p)=p_{nxt}-\min\)

  中间的 \(p\) 奇妙地抵消了！这在物理上等价于：我们从未在第 \(i\) 天卖出，而是直接把 \(\min\) 持有到了 \(nxt\) 天才卖出。这个占位符 \(p\)，就是那张“反悔并补差价”的票据。

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P1484 种树 及加强版 P1792

这道题也要用到上面的占位符思想。

我们考虑直接构造占位符，

对于当前种一棵树的操作，会使得两边的树不能种。那么我撤销这个操作种两边的树的话，他们的代价是固定的，是：

\[a_{left}+a_{right}-a_{now} \]

那么我们在 \(now\) 树上操作过后，因为它的两侧 \(left\) 和 \(right\) 树不能种了，我们就将这两棵树和当前树合在一起，并将这棵树的价值改成 \(a_{left}+a_{right}-a_{now}\) ，作为占位符使用。

但是用数组的话会消耗很大空间啊，咋整呢……双向链表！

请注意 P1792 这道题需要你搞一个循环，但 P1484 不需要。

接下来看一个加强版。

P3620 [APIO / CTSC2007] 数据备份

这道题不难看出来和上一个种树实际上很像，你把线化成点，选了一条线，两侧的线就不能选了，实际上和上一道题是一样的。

操作实际上没有什么不同，只是要看出来这个转化比较麻烦，如果看不出来的话就做不出来。

0x30 暴力判定法则

如果各位还没悟出来怎么判定能不能用反悔贪心，试试这个暴力方法（P3620 我就这么做的）：

1. 试探：我如果撤销现在的操作换成另一个，差价是多少？
2. 验证：这个差价是一个固定的数吗？还是会随着其他变化乱变？
3. 结论：
   • 如果是固定的数（只和局部有关）\(\rightarrow\) 占位符能造出来 \(\rightarrow\) 可以用反悔贪心。
   • 如果算不清或者牵一发而动全身 \(\rightarrow\) 占位符造不出来 \(\rightarrow\) 放弃吧，直接去想 DP 或者网络流吧。

感谢各位观看本篇文章，如有疏忽还希望各位指正。