ABC314E - Work or Rest

ABC314E - Work or Rest

1. 状态定义

令 \(dp[i]\) 表示：当前还需要 \(i\) 分，为了达到目标（剩余需求 \(\le 0\)），所需的最小期望花费。

• 目标：求 \(dp[M]\)。
• 边界：\(dp[0] = 0\)。
• 性质：对于任意 \(x < 0\)，视作 \(dp[0]\)。

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2. 原始期望方程

假设我们当前还需要 \(i\) 分，决定转动某个特定的轮盘。该轮盘的属性如下：

• 费用：\(C\)
• 扇区总数：\(P\)
• 扇区点数：\(S_1, S_2, \dots, S_P\)
• 0 点数量：其中有 \(Z\) 个扇区的点数为 0。

根据期望值的定义：\(\text{总期望} = \text{本次费用} + \sum （\text{概率} \times \text{转移后的期望}）\)

代入具体变量：\(\displaystyle dp[i] = C + \sum_{k=1}^{P} \left( \frac{1}{P} \times dp[\max(0, i - S_k)] \right)\)

提取公因式 \(\frac{1}{P}\)：\(\displaystyle dp[i] = C + \frac{1}{P} \sum_{k=1}^{P} dp[\max(0, i - S_k)]\)

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3. 分离 0 点（自环处理）

在求和项 \(\displaystyle \sum dp[i - S_k]\) 中，我们将结果分为两类：

1. 转到 0 点：发生 \(Z\) 次。此时还需要的分数 \(i\) 不变，状态仍为 \(dp[i]\)。
2. 转到非 0 点：发生 \(P-Z\) 次。此时状态变为更小的 \(dp[i - S_k]\)。

将方程展开：\(\displaystyle dp[i] = C + \frac{1}{P} \left( \underbrace{Z \cdot dp[i]}_{\text{0点部分}} + \underbrace{\sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]}_{\text{非0点部分}} \right)\)

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4. 代数变换求解 \(dp[i]\)

我们需要解出 \(dp[i]\)，将方程右边的含 \(dp[i]\) 项展开并移到左边。

Step 1: 展开括号 \(\displaystyle dp[i] = C + \frac{Z}{P} dp[i] + \frac{1}{P} \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]\)

Step 2: 移项 \(\displaystyle dp[i] - \frac{Z}{P} dp[i] = C + \frac{1}{P} \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]\)

Step 3: 提取左边公因式 \(\displaystyle dp[i] \left( 1 - \frac{Z}{P} \right) = C + \frac{1}{P} \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]\)

Step 4: 通分左边括号 \(\displaystyle dp[i] \left( \frac{P - Z}{P} \right) = C + \frac{1}{P} \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]\)

Step 5: 求解 \(dp[i]\) 两边同时乘以 \(\displaystyle \frac{P}{P - Z}\)：\(\displaystyle dp[i] = \frac{P}{P - Z} \left( C + \frac{1}{P} \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)] \right)\)

Step 6: 化简右边将系数乘入括号内：

• 第一项：\(\displaystyle C \cdot \frac{P}{P - Z}\)
• 第二项：\(\displaystyle \frac{1}{P} (\dots) \cdot \frac{P}{P - Z} = \frac{1}{P-Z} (\dots)\)（\(P\) 被约分消去）

合并同分母，得到最终公式：

\(\displaystyle dp[i] = \frac{C \cdot P + \sum_{S_k > 0} dp[\max(0, i - S_k)]}{P - Z}\)

这就是代码中使用的转移方程：f[i] = (cost * p + futexpect) / (p - znt);