圆周率π的定义与求值

从小学或是初中就接触到π，却一直不知道它的定义和求值方法，在这里明确一下。

 

一.圆周率的定义

　　圆周率  = 周长 / 直径

　　　　π = C / d

 

二.弧度制的定义

　　弧度 = 弧长 / 半径

　　　　α = l / r

　　下面来推导角度制与弧度制的关系：

　　　　我们定义圆周角为360°

　　　　当我们取圆心角等于360°时，弧长等于周长，有：

　　　　　　α = C / r = πd / r = 2π

　　　　由此得出，角度制的360度对应弧度制的2π (rad)

 

三.莱布尼茨级数

　　π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-…… 

 

　　随着等式右侧项数的增加，结果不断趋近于π/4，证明如下：

　　　　考虑级数

　　　　　　1 - x² + x⁴ - x⁶ + x⁸ -…… = 1 / (1+x²)

　　　　等式两边同时积分，得

　　　　　　x - x³/3 + x⁵/5 -x⁷/7 + x⁹/9 +…… = tan^-1 x

　　　　取x等于1，有tan^-1 1等于π/4，故有

　　　　　　1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-…… = π/4

　　　　原式得证。

 

附：对于圆周率的证明，还有很多方法，比如wallis乘积法等，此处只列举一个我觉得最简单的证明方法。

 

（最后说一句：我的数学水平实在是差，很多定理都是硬背下来的，怪不得很多东西无法深入理解，一旦深入思考就发现自己思维非常混乱，以后推导显而易见的结论是免不了啦……）