扩展KMP（Z函数）

给出两个字符串 \(S\) 和 \(T\)，长度分别为 \(n\) 和 \(m\)，要求求出两个数组 \(A\) 和 \(B\)：

\(A\) 存 \(T\) 的每一个后缀与 \(T\) 的最长公共前缀长度，\(B\) 存 \(S\) 的每一个后缀与 \(T\) 的最长公共前缀长度。

我们设我们有一个数组 \(\text{extend}\)，其中 \(\text{extend}[i]\) 表示 \(S[i\dots n]\) 与 \(T\) 的最长公共前缀长度。

则 \(\text{extend}\) 即为我们所求的 \(B\)。

那么，我们如何来求这个 \(\text{extend}\) 呢？先来看一组样例：

我们求出 \(\text{extend}[1]\) 之后，若暴力求 \(\text{extend}[2]\)，会差不多重新扫描一遍字符串。

当字符串的长度足够长时，时间开销会很大。所以我们要想办法避免重复扫描一些已经确定相等的字符串。

这里我们设另一个数组 \(\text{next}\)，其中 \(\text{next}[i]\) 表示 \(T[i\dots m]\) 与 \(T\) 的最长公共前缀长度。也就是题目中所求 \(A\)。

在上面这张图中，我们可以看到，\(\text{next}[2]=18\)，即 \(T[1\dots 18]=T[2\dots 19]\)。

又因为 \(S[1\dots 19]=T[1\dots 19]\)，所以 \(S[2\dots 19]=T[2\dots 19]\)，所以 \(T[1\dots 18]=S[2\dots 19]\)。

说明了什么？说明我们在求 \(\text{extend}[2]\) 的时候，它的前 \(18\) 位都已经匹配成功了，直接从 \(S[20]\) 和 \(T[19]\) 开始匹配就可以了。

这也是 KMP 的思想，根据这个原理我们来研究扩展 KMP（Z 函数）。

\[\]

扩展 KMP 求 \(\text{extend}\) 有两种情况。

先看一张图：

在这张图中，我们设上面的串为 \(S\)，下面的串为 \(T\)。

此时，在 \(i\in [1,k]\) 的 \(\text{extend}[i]\) 已结完全求得。并且 \(P=\max\{\text{extend}[i]+i\}\)，我们令这个得到最大值的 \(i\) 等于 \(P0\)。

然后我们令 \(b=k-P0+2\)，并记 \(L=\text{next}[b]\)。\(\text{next}\) 的定义同上。

接下来分析两种情况：

\[\]

情况一 \(k+L<P\)

如图所示，此时绿线 \(=\) 蓝线 \(=\) 红线 \(=L\)。

因为 \(\text{extend}[P0] + P0 = P\)，根据 \(\text{extend}\) 的定义，我们可知 \(S[k+1\dots P]=T[k-P0+2\dots P-P0+1]\)，所以绿线 \(=\) 红线。

又因为 \(L=\text{next}[b]\)，所以 \(T[1\dots L] = T[b\dots b+L-1]\)，所以红线 \(=\) 蓝线。

也就是说，此时 \(\text{extend}[k+1]=\text{next}[b]=L\)。而 \(k+1\) 刚好是我们现在要求的值。

这一部分的代码如下：

if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0) extend[i]=nxt[i-p0];
//i 就是 k+1，extend[p0]+p0 就是 p，nxt[i-p0] 就是 L。
//代码中下标是从 0 开始的，所以左侧不需要减去 1。

\[\]

情况二 \(k+L\ge P\)

如图所示，此时蓝线 \(=\) 红线 \(=L\)。

我们假设 \(L-(P-k)=x\)，也就是这三条线末端被框起来的部分为 \(x\)。

倘若这三个长为 \(x\) 的部分不存在，那么绿线 \(=\) 蓝线 \(=\) 红线 \(=P-k\)。理由同情况一。

那么我们假设这三条线各延伸 \(x\) 长度后，绿线 \(=\) 蓝线 \(=\) 红线仍然成立。

但是剩下的这 \(x\) 我们无从得知，所以需要暴力匹配。因为前面大部分的已经可以直接得出相等了，所以后面的 \(x\) 不会很大，时间开销也不会很大。

这一部分的代码如下：

int now=extend[p0]+p0-i;now=max(now,0*1ll);//now 就是我们需要延伸的 L
while(t[now]==s[now+i]&&now<m&&now+i<n) now++;//延伸过程
extend[i]=now;p0=i;

所以 \(\text{extend}\) 就可以求出来了。

\[\]

但是我们好像忘了另一件事——\(\text{next}\) 还没求出来呢。

不过我们看一下它们的定义，\(\text{extend}\) 求的是 \(S\) 的后缀与 \(T\) 的关系，\(\text{next}\) 求的是 \(T\) 的后缀与 \(T\) 的关系。

看上去差不多。所以我们让 \(T\) 和自己跑一遍这个过程就可以求出来了。

但是注意我们要先单独求出第二位的 \(\text{next}\) 再从第二位开始暴力，为的是防止求第一位时引用自己的值。

如此，扩展 KMP（Z 函数）的时间复杂度为 \(\Theta(n)\)。

总代码如下：

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 20001000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long

using namespace std;

int q,n,m,ans1,ans2;
char s[maxn],t[maxn];
int nxt[maxn],extend[maxn];
//nxt[i] 表示 T[i ~ m] 与 T[1 ~ m] 的最长公共前缀长度 
//extend[i] 表示 S[i ~ n] 与 T[1 ~ m] 的最长公共前缀长度 

int read(){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}

void Getnxt(){
    nxt[0]=m;//T 与 T 的最长公共前缀是它自己 
    int now=0,p0=1;
    while(t[now]==t[1+now]&&now+1<m) now++;
    nxt[1]=now;
    for(int i=1;i<m;i++){
        if(i+nxt[i-p0]<nxt[p0]+p0) nxt[i]=nxt[i-p0];
        else{
            int now=p0+nxt[p0]-i;now=max(now,0*1ll);
            while(now+i<m&&t[now]==t[now+i]) now++;
            nxt[i]=now;p0=i;
        }
    }     
}

void Exkmp(){
    Getnxt();//处理 nxt[]  
    int now=0,p0=0;
    while(s[now]==t[now]&&now<m&&now<n) now++;
    extend[0]=now;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0) extend[i]=nxt[i-p0]; 
        //nxt[i-p0] 是 L
        //extend[p0]+p0 是 p
        //i 是 k + 1 
        //下标从 0 开始不用减 1. 
        else{
            int now=extend[p0]+p0-i;now=max(now,0*1ll);
            while(t[now]==s[now+i]&&now<m&&now+i<n) now++;
            extend[i]=now;p0=i;
        }
    }
} 

signed main(){
    scanf("%s%s",s,t);
    n=strlen(s);m=strlen(t);Exkmp();
    for(int i=0;i<m;i++)ans1^=(i+1)*(nxt[i]+1);
    for(int i=0;i<n;i++)ans2^=(i+1)*(extend[i]+1);
    printf("%lld\n%lld\n",ans1,ans2);
    return 0;
}