第三章作业

1.1 最优子结构，递归方程、定义、边界条件
问题描述回顾
N\times N网格，从左上角(1,1)走到右下角(N,N)；只能上下左右走，必须恰好走 2N-1 步（意味着路径不能绕路，等价于：只能向右、向下移动，不能回头）。每个格子有费用，求路径最小总费用。
状态定义：
dp[i][j]：从起点(1,1)走到格子(i,j)的最小通行总费用。

递归方程式：
dp[i][j] = grid[i][j]+\min
\begin{cases}
dp[i-1][j] \quad \text{从上方来（上一行同列）}\
dp[i][j-1] \quad \text{从左方来（同行左边一列）}
\end{cases}

边界条件
1. dp[1][1] = grid[1][1]：起点，费用就是本身格子费用
2. 第一行（i=1,j>1）：只能从左边过来
dp[1][j] = dp[1][j-1] + grid[1][j]
3. 第一列（j=1,i>1）：只能从上方过来
dp[i][1] = dp[i-1][1] + grid[i][1]

最优子结构说明：到达(i,j)的最优路径，一定是到达上方(i-1,j)或者左方(i,j-1)的最优路径，再加上当前格子费用。子问题最优，原问题才最优

1.2 填表法：表维度、填表范围、填表顺序，原问题最优值位置
表维度：二维数组 dp[N+1][N+1]（下标从1开始，N \le 100）
填表范围：i\in[1,N],\ j\in[1,N]
填表顺序：
1. 先填起点 dp[1][1]
2. 填第1行：从左向右 j=2 \to N
3. 填第1列：从上向下 i=2 \to N
4. 其余单元格：按行优先，i从2到N；每行内部j从2到N依次填充。计算dp[i][j]时，上方dp[i-1][j]、左边dp[i][j-1]都已经算好。
原问题最优值：\boldsymbol{dp[N][N]}（右下角单元格）

1.3 时间、空间复杂度
时间复杂度：O(N^{2)，网格一共N}2个单元格，每个单元格仅一次计算，每次取min是O(1)。
空间复杂度：O(N^2)，使用二维dp数组存储所有子问题结果。

2. 对动态规划算法的理解和体会
   动态规划核心思想是拆分大问题为重叠子问题，利用最优子结构，记录子问题答案避免重复计算。
   本题中，暴力搜索会重复计算很多到达同一格子的路径开销，效率很低。动态规划用一张dp表保存到达每个位置的最小费用，每个子问题只求解一次。

动态规划解题关键三步：
1. 定义状态，清晰描述子问题含义；
2. 推导状态转移方程，找出子问题之间依赖；
3. 确定边界条件与填表顺序，保证计算子问题时，依赖的前置结果已经算出。
动态规划适合具有最优子结构+重叠子问题的问题；它本质是以空间换时间，存储中间结果，减少重复递归计算。