第二章作业

1. 找第k小的数（分治算法描述）
   （1）在当前数组区间里选取一个基准元素  pivot ；
   （2） 划分（partition）：将区间内元素重新排列，小于等于pivot的放到pivot左边，大于pivot的放到右边。划分完成后，pivot落在它最终正确的位置pos上；
   （3）判断：
   如果  pos == k ：基准元素就是第k小元素，直接返回；
   如果  pos > k ：第k小的数落在左半区间，递归在左子区间继续查找第k小；
   如果  pos < k ：第k小的数落在右半区间，递归在右子区间查找第  k-pos  小；

2. 时间复杂度分析
   （1）最好时间复杂度：O(n)
   每次划分都把数组大致对半拆分，每次处理的数组规模按 n \to n/2 \to n/4…，总工作量 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)。
   （2）最坏时间复杂度：O(n^2)
   当基准每次选到数组最大/最小值，划分后一边只有1个元素，另一边是剩下全部元素，递归深度变成 n，总时间 O(n^2)。
   补充：随机选取基准可以让算法期望时间复杂度 O(n)，大幅降低最坏情况出现概率。

3. 对分治法的体会与思考
   分治法核心思想：把一个大规模的原问题，拆成若干个结构相同、规模更小的子问题；分别求解子问题，最后合并子问题的解得到原问题答案。
   （1）适用条件：问题可以分解为同类型子问题；子问题独立（子问题之间没有互相依赖）；子问题解可以合并得到原问题解。像快速选择、归并排序、快速排序、最近点对都是典型例子。
   （2） 优势：利用递归，将复杂大问题简化，代码逻辑清晰；很多场景下相比暴力枚举，可以显著降低时间复杂度。
   （3）需要注意的地方：分治会带来递归调用的栈开销；如果划分策略很差（如快选最坏情况），复杂度会退化。设计算法时要考虑划分策略，例如随机选基准来规避最坏情况。
   （4）对比：分治的子问题互相独立，和动态规划有明显区别：动态规划子问题大量重叠，会保存子问题结果避免重复计算；分治一般直接递归求解独立子问题。