杭电多校HDU 6656 Kejin Player（概率DP）题解

题意：

最低等级\(level\ 1\)，已知在\(level\ i\)操作一次需花费\(a_i\)，有概率\(p_i\)升级到\(level\ i+1\)，有\(1 - p_i\)掉级到\(x_i(x_i <= i)\)，询问\(q\)次，问你每次从\(l\)升级到\(r\)的花费的期望。

思路：

我们设\(dp[i]\)为从\(1\)升级到\(i\)的期望花费，那么显然有从\(l\)升级到\(r\)的期望花费为\(dp[r] - dp[l]\)。
然后我们可以知道，升级到\(i\)有两种情况：
已经花费了\(dp[i-1]\)必加。从\(i-1\)升级，那么花费\(a_{i-1}\)；掉级到\(x_{i-1}\)再升到\(i\)，那么花费\(a_{i-1} + dp[i]-dp[x_{i-1}]\)，那么可以列出方程：

\[dp[i] = dp[i -1] + p_{i-1}*a_{i-1} + (1-p_{i-1})*(dp[i]-dp[x_{i-1}]+a_{i-1}) \]

化简后可得正解。

代码：

#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 5;
const ll MOD = 1e9+7;
const ull seed = 13131;
const int INF = 998244353;
ll dp[maxn];
ll r[maxn], s[maxn], x[maxn], a[maxn];
ll ppow(ll a, ll b){
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = ret * a % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return ret;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n, q;
        scanf("%d%d", &n, &q);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%lld%lld%lld%lld", &r[i], &s[i], &x[i], &a[i]);
        }
        dp[1] = 0;
        for(int i = 2; i <= n + 1; i++){
            ll inv = ppow(r[i - 1], MOD - 2);
            ll tmp1 = ((s[i - 1] * inv % MOD) * dp[i - 1] + a[i - 1]) % MOD;
            ll tmp2 = ((s[i - 1] - r[i - 1]) * inv % MOD) * dp[x[i - 1]] % MOD;
            ll tmp3 = ((s[i - 1] - r[i - 1]) * inv % MOD) * a[i - 1] % MOD;
            dp[i] = ((tmp1 - tmp2) % MOD + tmp3) % MOD;
            dp[i] = (dp[i] % MOD + MOD) % MOD;
        }
//        for(int i = 1; i <= n + 1; i++) printf("%lld\n", dp[i]);
        while(q--){
            int l, r;
            scanf("%d%d", &l, &r);
            ll ans = dp[r] - dp[l];
            ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}