模拟赛Atcoder Beginner Contest 433官方题解(E题)

问题描述

给定整数 \(N, M\)，一个包含 \(N\) 个整数的序列 \(X = (X_1, X_2, \dots, X_N)\)，以及一个包含 \(M\) 个整数的序列 \(Y = (Y_1, Y_2, \dots, Y_M)\)。

判断是否存在一个 \(N\) 行 \(M\) 列的整数矩阵 \(A = (A_{i,j})\)（其中 \(1 \le i \le N, 1 \le j \le M\)），满足以下所有条件，如果存在，请输出一个这样的矩阵。

条件：

1. \(1 \le A_{i,j} \le N \times M\)
2. \(A\) 的所有 \(N \times M\) 个元素互不相同。
3. 对于每个 \(i = 1, 2, \dots, N\)，第 \(i\) 行的最大值等于 \(X_i\)。
4. 对于每个 \(j = 1, 2, \dots, M\)，第 \(j\) 列的最大值等于 \(Y_j\)。

给定 \(T\) 个测试用例，请解决每个测试用例。

约束条件

• \(1 \le T \le 10^5\)
• \(1 \le N, M\)
• 所有测试用例的 \(N \times M\) 的总和不超过 \(2 \times 10^5\)
• \(1 \le X_i, Y_j \le N \times M\)
• 所有输入值均为整数

输入格式

\(T\)
\(case_1\)
\(case_2\)
\(\dots\)
\(case_T\)

每个测试用例的格式如下：

\(N\) \(M\)
\(X_1\) \(X_2\) \(\dots\) \(X_N\)
\(Y_1\) \(Y_2\) \(\dots\) \(Y_M\)

输出格式
按顺序输出每个测试用例的答案，用换行分隔。

对于每个测试用例，如果不存在满足所有条件的矩阵 \(A\)，则输出 "No"。

否则，输出以下格式的矩阵 \(A\)：

\(Yes\)
\(A_{1,1}\) \(A_{1,2}\) \(\dots\) \(A_{1,M}\)
\(A_{2,1}\) \(A_{2,2}\) \(\dots\) \(A_{2,M}\)
\(\vdots\)
\(A_{N,1}\) \(A_{N,2}\) \(\dots\) \(A_{N,M}\)

如果有多个满足条件的矩阵 \(A\)，输出任意一个均可。

样例输入 1

3
2 3
5 6
5 3 6
3 3
5 4 6
6 2 4
5 4
18 20 19 14 17
18 20 14 15

样例输出 1

Yes
5 1 4
2 3 6
No
Yes
18 12 4 9
13 20 1 10
16 19 6 8
2 5 14 3
11 17 7 15

第一个测试用例的说明

在样例输出中，矩阵 \(A\) 的所有元素都在 1 到 6 之间且互不相同，并且满足：

• 第 1 行的最大值：\(\max\{5, 1, 4\} = 5 = X_1\)
• 第 2 行的最大值：\(\max\{2, 3, 6\} = 6 = X_2\)
• 第 1 列的最大值：\(\max\{5, 2\} = 5 = Y_1\)
• 第 2 列的最大值：\(\max\{1, 3\} = 3 = Y_2\)
• 第 3 列的最大值：\(\max\{4, 6\} = 6 = Y_3\)

因此所有条件都满足。

其他输出（例如以下形式）也是可以接受的：

Yes
5 3 1
4 2 6

如果 \(X\) 中包含重复元素，答案就是 No；\(Y\) 也是同样的道理。我们假设没有这种情况。

考虑按从 \(N \times M\) 到 \(1\) 的降序顺序填充矩阵 \(A\) 的元素。

假设我们已经放置了所有大于 \(v\) 的元素。那么放置 \(v\) 的约束条件如下：

• 如果 \(v\) 同时存在于 \(X\) 和 \(Y\) 中：对于满足 \(X_i = Y_j = v\) 的位置，令 \(A_{i,j} = v\)。
• 如果 \(v\) 仅存在于 \(X\) 中：对于满足 \(X_i = v\) 的行，选择一个满足 \(Y_j > v\) 且 \(A_{i,j}\) 尚未确定的列 \(j\)，并令 \(A_{i,j} = v\)。
• 如果 \(v\) 仅存在于 \(Y\) 中：对于满足 \(Y_j = v\) 的列，选择一个满足 \(X_i > v\) 且 \(A_{i,j}\) 尚未确定的行 \(i\)，并令 \(A_{i,j} = v\)。
• 如果 \(v\) 既不在 \(X\) 中也不在 \(Y\) 中：选择满足 \(X_i > v\)、\(Y_j > v\) 且 \(A_{i,j}\) 尚未确定的位置 \((i,j)\)，并令 \(A_{i,j} = v\)。

由于我们是按降序填充 \(v\) 的，可填充的候选位置数量是单调递增的。因此，只要满足上述规则，我们可以自由地填充这些位置。

剩下的就是将此思路实现为代码，但直接按上述规则检查会导致很高的计算复杂度，从而造成超时（TLE）。在实现时，我们可以认为一旦满足 \(v < \min(X_i, Y_j)\)，\(A_{i,j}\) 就可以自由填充，并将满足 \(v = \min(X_i, Y_j)\) 的位置 \((i,j)\) 管理在列表中。更多细节请参考下面的示例代码。