提高组数学：同余及其性质

基础算法题目汇总

以下是基础算法领域的经典练习题，按难度递增排列：

洛谷 P1001 A+B Problem

入门级题目，考察基本输入输出能力。

易错点提醒

以下是编程中常见的错误类型：

• 数组越界访问（特别是循环边界条件）
• 整数溢出（需注意数据范围）
• 未初始化变量的使用

常见错误分析

竞赛中容易失分的典型错误：

洛谷 P1068 分数线划定

排序边界处理错误，容易忽略同分情况。

优化技巧总结

提升程序效率的常用方法：

• 使用位运算替代乘除法
• 预先计算避免重复运算
• 合理选择数据结构减少时间复杂度

解题代码示例（无链接）

洛谷 P1001 参考代码：

#include <iostream> using namespace std; int main() { int a, b; cin >> a >> b; cout << a + b << endl; return 0; }

同余

定义与性质

同余定义

设 ( \(m \in \mathbb{Z}^+\) )，( \(a, b \in \mathbb{Z}\))

\[a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b) \]

基本性质体系

1. 等价关系

• 自反性：

\[a \equiv a \pmod{m} \]

• 对称性：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m} \]

• 传递性：

\[a \equiv b \pmod{m} \land b \equiv c \pmod{m} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m} \]

2. 算术运算封闭性

若

\[a \equiv b \pmod{m} \\ c \equiv d \pmod{m} \]

则：

\[a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \]

\[a \times c \equiv b \times d \pmod{m} \]

\[k \times a \equiv k \times b \pmod{m} \\ (k \in \mathbb{Z}) \]

\[a^n \equiv b^n \pmod{m} \\ ( n \in \mathbb{Z}^+ ) \]

3. 模数变换

• 缩放：\(a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow ak \equiv bk \pmod{mk}\)
• 约简：\(a \equiv b \pmod{m} \land d \mid m \Rightarrow a \equiv b \pmod{d}\)
• 合并：\(a \equiv b \pmod{m_1} \land a \equiv b \pmod{m_2} \Rightarrow a \equiv b \pmod{\text{lcm}(m_1,m_2)}\)

4. 消去律

\[ac \equiv bc \pmod{m} \Rightarrow a \equiv b \pmod{\frac{m}{\gcd(c,m)}} \]

特例：当 \(\gcd(c,m) = 1\)时，可直接消去\(c\)

5. 最大公约数与多项式保持

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \gcd(a,m) = \gcd(b,m) \]

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow P(a) \equiv P(b) \pmod{m} \]

\(P(x)\)为整系数多项式

6. 结构性质

• 最大公约数保持：\(a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \gcd(a,m) = \gcd(b,m)\)
• 等价类划分：模\(m\)将整数划分为\(m\)个剩余类
• 幂的周期性：当\(\gcd(a,m) = 1\)时，\(a^n \bmod m\)具有周期性

推导版本

一、基本定义的等价形式

定义：对于\(m \in \mathbb{Z}^+\)，$a, b \in \mathbb{Z} $

\[a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b) \]

等价表述：存在\(k \in \mathbb{Z}\)使得

\[a - b = km \]

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二、基本等价关系的推导

1. 自反性：\( a \equiv a \pmod{m} \)

推导：

\[a - a = 0 \]

\[m \mid 0 \quad (\text{因为 } 0 = 0 \cdot m) \]

\[\Rightarrow a \equiv a \pmod{m} \]

2. 对称性：若 ( \(a \equiv b \pmod{m}\))，则 ( \(b \equiv a \pmod{m}\))

推导：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid (a - b) \]

\[\Rightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \text{ 使得 } a - b = km \]

\[\Rightarrow b - a = (-k)m \]

\[\Rightarrow m \mid (b - a) \]

\[\Rightarrow b \equiv a \pmod{m} \]

3. 传递性：若 ( \(a \equiv b \pmod{m}\) ) 且 ( \(b \equiv c \pmod{m}\) )，则 ( \(a \equiv c \pmod{m}\) )

推导：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \exists k_1 \in \mathbb{Z} \text{ 使得 } a - b = k_1 m \]

\[b \equiv c \pmod{m} \Rightarrow \exists k_2 \in \mathbb{Z} \text{ 使得 } b - c = k_2 m \]

\[a - c = (a - b) + (b - c) = k_1 m + k_2 m = (k_1 + k_2) m \]

\[\Rightarrow m \mid (a - c) \]

\[\Rightarrow a \equiv c \pmod{m} \]

---

三、算术运算性质的推导

已知：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a - b = k_1 m \]

\[c \equiv d \pmod{m} \Rightarrow c - d = k_2 m \]

1. 加法：\( a + c \equiv b + d \pmod{m} \)

推导：

\[(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d) \]

\[= k_1 m + k_2 m = (k_1 + k_2) m \]

\[\Rightarrow m \mid [(a + c) - (b + d)] \]

\[\Rightarrow a + c \equiv b + d \pmod{m} \]

2. 减法：\( a - c \equiv b - d \pmod{m} \)

推导：

\[(a - c) - (b - d) = (a - b) - (c - d) \]

\[= k_1 m - k_2 m = (k_1 - k_2) m \]

\[\Rightarrow m \mid [(a - c) - (b - d)] \]

\[\Rightarrow a - c \equiv b - d \pmod{m} \]

3. 乘法：\( a \times c \equiv b \times d \pmod{m} \)

推导：

\[ac - bd = ac - bc + bc - bd \]

\[= c(a - b) + b(c - d) \]

\[= c(k_1 m) + b(k_2 m) = (c k_1 + b k_2) m \]

\[\Rightarrow m \mid (ac - bd) \]

\[\Rightarrow ac \equiv bd \pmod{m} \]

4. 数乘：\( k \times a \equiv k \times b \pmod{m} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）

推导：
由自反性：\( k \equiv k \pmod{m} \)
由乘法性质：\( k \times a \equiv k \times b \pmod{m} \)

5. 乘方：\( a^n \equiv b^n \pmod{m} \)（\( n \in \mathbb{Z}^+ \)）

推导（数学归纳法）：

基础情况（\( n = 1 \)）：

\[a^1 \equiv b^1 \pmod{m} \quad (\text{已知条件}) \]

归纳假设：假设 \( a^k \equiv b^k \pmod{m} \) 成立

归纳步骤：

\[a^{k+1} = a^k \cdot a \]

\[b^{k+1} = b^k \cdot b \]

由归纳假设：\( a^k \equiv b^k \pmod{m} \)
由已知条件：\( a \equiv b \pmod{m} \)
由乘法性质：

\[a^k \cdot a \equiv b^k \cdot b \pmod{m} \]

\[\Rightarrow a^{k+1} \equiv b^{k+1} \pmod{m} \]

由数学归纳法，对任意 \( n \in \mathbb{Z}^+ \)，有 \( a^n \equiv b^n \pmod{m} \)

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四、模数变换性质的推导

1. 缩放模数：若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则 \( a \times k \equiv b \times k \pmod{m \times k} \)

推导：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a - b = c m \quad (c \in \mathbb{Z}) \]

\[\Rightarrow k(a - b) = k c m \]

\[\Rightarrow ak - bk = c (m k) \]

\[\Rightarrow m k \mid (ak - bk) \]

\[\Rightarrow ak \equiv bk \pmod{m k} \]

2. 简化模数：若 \( a \equiv b \pmod{m} \) 且 \( d \mid m \)，则 \( a \equiv b \pmod{d} \)

推导：

\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid (a - b) \]

\[d \mid m \Rightarrow \exists c \in \mathbb{Z} \text{ 使得 } m = c d \]

\[\Rightarrow c d \mid (a - b) \]

\[\Rightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \text{ 使得 } a - b = k c d \]

\[\Rightarrow a - b = (k c) d \]

\[\Rightarrow d \mid (a - b) \]

\[\Rightarrow a \equiv b \pmod{d} \]

3. 模数合并：若 \( a \equiv b \pmod{m_1} \) 且 \( a \equiv b \pmod{m_2} \)，则 \( a \equiv b \pmod{\text{lcm}(m_1, m_2)} \)

推导：

\[a \equiv b \pmod{m_1} \Rightarrow m_1 \mid (a - b) \]

\[a \equiv b \pmod{m_2} \Rightarrow m_2 \mid (a - b) \]

根据最小公倍数的定义：若 \( m_1 \mid N \) 且 \( m_2 \mid N \)，则 \( \text{lcm}(m_1, m_2) \mid N \)

令 \( N = a - b \)，则：

\[\text{lcm}(m_1, m_2) \mid (a - b) \]

\[\Rightarrow a \equiv b \pmod{\text{lcm}(m_1, m_2)} \]

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五、消去律的推导

已知：\( a \times c \equiv b \times c \pmod{m} \)

推导：

\[ac \equiv bc \pmod{m} \Rightarrow m \mid (ac - bc) \]

\[\Rightarrow m \mid c(a - b) \]

令 \( d = \gcd(c, m) \)，将 \( c \) 和 \( m \) 表示为：

\[c = d c', \quad m = d m', \quad \text{其中 } \gcd(c', m') = 1 \]

代入：

\[d m' \mid (d c')(a - b) \]

\[\Rightarrow m' \mid c'(a - b) \]

由于 \( \gcd(c', m') = 1 \)，根据欧几里得引理：

\[m' \mid (a - b) \]

\[\Rightarrow a \equiv b \pmod{m'} = \pmod{\frac{m}{\gcd(c, m)}} \]

特例：当 \( \gcd(c, m) = 1 \) 时，\( m' = m \)，所以：

\[a \equiv b \pmod{m} \]

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六、多项式性质的推导

设 \( P(x) = p_n x^n + p_{n-1} x^{n-1} + \cdots + p_1 x + p_0 \)，其中 \( p_i \in \mathbb{Z} \)

已知：\( a \equiv b \pmod{m} \)

推导：

由乘方性质：对任意 \( k = 0, 1, \ldots, n \)，有

\[a^k \equiv b^k \pmod{m} \]

由数乘性质：对每个系数 \( p_k \)，有

\[p_k a^k \equiv p_k b^k \pmod{m} \]

现在考虑多项式值：

\[P(a) = p_n a^n + p_{n-1} a^{n-1} + \cdots + p_1 a + p_0 \]

\[P(b) = p_n b^n + p_{n-1} b^{n-1} + \cdots + p_1 b + p_0 \]

由加法性质，将各同余项相加：

\[p_n a^n + p_{n-1} a^{n-1} + \cdots + p_1 a + p_0 \equiv p_n b^n + p_{n-1} b^{n-1} + \cdots + p_1 b + p_0 \pmod{m} \]

\[\Rightarrow P(a) \equiv P(b) \pmod{m} \]

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七、最大公约数保持的推导

性质：\( a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \gcd(a, m) = \gcd(b, m) \)

推导：

由 \( a \equiv b \pmod{m} \) 得：

\[a = b + km \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

第一步：证明 \( \gcd(b, m) \mid \gcd(a, m) \)

令 \( d_1 = \gcd(b, m) \)，则：

\[d_1 \mid b \quad \text{且} \quad d_1 \mid m \]

\[\Rightarrow d_1 \mid (b + km) = a \]

\[\Rightarrow d_1 \mid a \quad \text{且} \quad d_1 \mid m \]

\[\Rightarrow d_1 \mid \gcd(a, m) \tag{1} \]

第二步：证明 \( \gcd(a, m) \mid \gcd(b, m) \)

由 \( a = b + km \) 得 \( b = a - km \)

令 \( d_2 = \gcd(a, m) \)，则：

\[d_2 \mid a \quad \text{且} \quad d_2 \mid m \]

\[\Rightarrow d_2 \mid (a - km) = b \]

\[\Rightarrow d_2 \mid b \quad \text{且} \quad d_2 \mid m \]

\[\Rightarrow d_2 \mid \gcd(b, m) \tag{2} \]

第三步：得出结论

由 (1) 式 \( d_1 \mid d_2 \) 和 (2) 式 \( d_2 \mid d_1 \)，且 \( d_1, d_2 \) 都是正整数，因此：

\[d_1 = d_2 \]

即：

\[\gcd(a, m) = \gcd(b, m) \]

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八、等价类划分的推导

性质：同余关系将整数集划分为 \( m \) 个互不相交的等价类

推导：

定义等价关系：\( a \sim b \iff a \equiv b \pmod{m} \)

1. 等价类的存在性：
对任意 \( a \in \mathbb{Z} \)，由带余除法：

\[a = qm + r, \quad 0 \leq r < m \]

\[\Rightarrow a \equiv r \pmod{m} \]

所以每个整数都属于某个剩余类 \( [r] \)，其中 \( 0 \leq r < m \)

2. 等价类的不交性：
假设 \( [r_1] \cap [r_2] \neq \emptyset \)，则存在 \( c \in [r_1] \cap [r_2] \)

\[\Rightarrow c \equiv r_1 \pmod{m} \quad \text{且} \quad c \equiv r_2 \pmod{m} \]

由传递性：\( r_1 \equiv r_2 \pmod{m} \)
但 \( 0 \leq r_1, r_2 < m \)，所以 \( r_1 = r_2 \)

3. 等价类的完备性：
任意整数 \( a \) 都有唯一确定的余数 \( r \)（\( 0 \leq r < m \)），因此：

\[\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup \cdots \cup [m-1] \]

且这些等价类两两不交。

好的，我们来专门详细推导 最大公约数保持 和 周期性 这两个重要性质。

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九、最大公约数保持

定理：

\[a \equiv b \pmod{m} \quad \Rightarrow \quad \gcd(a, m) = \gcd(b, m) \]

推导

已知：

\[a \equiv b \pmod{m} \]

根据同余定义，存在整数 \( k \) 使得：

\[a = b + k m \tag{1} \]

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第一步：证明 \(\gcd(b, m)\) 整除 \(\gcd(a, m)\)

令

\[d_1 = \gcd(b, m) \]

由最大公约数的定义：

\[d_1 \mid b \quad \text{且} \quad d_1 \mid m \]

由 (1) 式 \( a = b + k m \) 可得：

\[d_1 \mid b \quad \text{且} \quad d_1 \mid m \quad \Rightarrow \quad d_1 \mid (b + k m) \]

即：

\[d_1 \mid a \]

又因为 \( d_1 \mid m \)，所以 \( d_1 \) 是 \( a \) 和 \( m \) 的一个公因数。

由最大公约数的性质（任何公因数整除最大公约数）：

\[d_1 \mid \gcd(a, m) \tag{2} \]

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第二步：证明 \(\gcd(a, m)\) 整除 \(\gcd(b, m)\)

由 (1) 式可得：

\[b = a - k m \tag{3} \]

令

\[d_2 = \gcd(a, m) \]

由最大公约数的定义：

\[d_2 \mid a \quad \text{且} \quad d_2 \mid m \]

由 (3) 式 \( b = a - k m \) 可得：

\[d_2 \mid a \quad \text{且} \quad d_2 \mid m \quad \Rightarrow \quad d_2 \mid (a - k m) \]

即：

\[d_2 \mid b \]

又因为 \( d_2 \mid m \)，所以 \( d_2 \) 是 \( b \) 和 \( m \) 的一个公因数。

由最大公约数的性质：

\[d_2 \mid \gcd(b, m) \tag{4} \]

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第三步：得出结论

由 (2) 式 \( d_1 \mid d_2 \) 和 (4) 式 \( d_2 \mid d_1 \)，且 \( d_1, d_2 \) 都是正整数，因此：

\[d_1 = d_2 \]

即：

\[\gcd(a, m) = \gcd(b, m) \]

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周期性

定理1：模的阶的存在性

如果 \( \gcd(a, m) = 1 \)，则存在最小的正整数 \( r \)（称为 \( a \) 模 \( m \) 的阶）使得：

\[a^r \equiv 1 \pmod{m} \]

推导：

考虑序列：

\[a^0, a^1, a^2, a^3, \ldots \pmod{m} \]

由于只有有限个可能的余数 \( {0, 1, 2, \ldots, m-1} \)，根据鸽巢原理，存在 \( i < j \) 使得：

\[a^i \equiv a^j \pmod{m} \]

由于 \( \gcd(a, m) = 1 \)，可以消去 \( a^i \)（乘以 \( a^{-i} \)）：

\[1 \equiv a^{j-i} \pmod{m} \]

令 \( r = j - i > 0 \)，则 \( a^r \equiv 1 \pmod{m} \)

取所有这样的正整数中最小的一个，就是 \( a \) 模 \( m \) 的阶。

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定理2：幂的周期性

如果 \( \gcd(a, m) = 1 \) 且 \( a \) 模 \( m \) 的阶为 \( r \)，则对任意整数 \( n \)：

\[a^n \equiv a^{n \bmod r} \pmod{m} \]

特别地，序列 \( {a^n \bmod m} \) 是周期序列，周期为 \( r \)。

推导：

设 \( n = qr + s \)，其中 \( 0 \leq s < r \)（带余除法）

则：

\[a^n = a^{qr + s} = (a^r)^q \cdot a^s \]

由于 \( a^r \equiv 1 \pmod{m} \)，有：

\[(a^r)^q \equiv 1^q \equiv 1 \pmod{m} \]

因此：

\[a^n \equiv 1 \cdot a^s \equiv a^s \pmod{m} \]

即：

\[a^n \equiv a^{n \bmod r} \pmod{m} \]

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定理3：欧拉定理

如果 \( \gcd(a, m) = 1 \)，则：

\[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \]

其中 \( \phi(m) \) 是欧拉函数。

推导思路：

1. 考虑模 \( m \) 的简化剩余系：\( {x_1, x_2, \ldots, x_{\phi(m)}} \)，其中每个 \( x_i \) 与 \( m \) 互质。

2. 由于 \( \gcd(a, m) = 1 \)，集合 \( {ax_1, ax_2, \ldots, ax_{\phi(m)}} \) 也是模 \( m \) 的简化剩余系（只是重新排列）。

3. 因此：

   \[\prod_{i=1}^{\phi(m)} (a x_i) \equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)} x_i \pmod{m} \]

4. 整理得：

   \[a^{\phi(m)} \cdot \prod_{i=1}^{\phi(m)} x_i \equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)} x_i \pmod{m} \]

5. 由于每个 \( x_i \) 与 \( m \) 互质，可以消去 \( \prod x_i \)：

   \[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \]

推论：模的阶 \( r \) 整除 \( \phi(m) \)。

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定理4：一般情况的周期性

对于任意 \( a \) 和 \( m \)，序列 \( {a^n \bmod m} \) 从某项开始是纯周期序列。

推导：

设 \( d = \gcd(a, m) \)，令 \( a = d a' \)，\( m = d m' \)，其中 \( \gcd(a', m') = 1 \)

如果 \( d > 1 \)，则对于足够大的 \( n \)，有：

\[a^n = d^n (a')^n \]

当 \( n \) 足够大时，\( d^n \) 包含因子 \( m \)，因此序列最终会进入周期状态。

更精确地，由欧拉定理，存在 \( r \) 使得：

\[(a')^r \equiv 1 \pmod{m'} \]

因此序列具有周期性。

同余理论练习题目

题目1

关于同余的基本定义，以下哪个说法是正确的？

• A. 若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则 \( a = b + m \)
• B. 若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则 \( m \mid (a - b) \)
• C. 若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则 \( a \mid m \) 且 \( b \mid m \)
• D. 若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则 \( a \) 和 \( b \) 一定是正数

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✅ 正确答案：B

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题目2

已知 \( a \equiv 3 \pmod{7} \)，\( b \equiv 5 \pmod{7} \)，则 \( a \times b \equiv ? \pmod{7} \)

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

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✅ 正确答案：A

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题目3

关于同余的消去律，以下哪个结论是正确的？

• A. 若 \( ac \equiv bc \pmod{m} \)，则 \( a \equiv b \pmod{m} \)
• B. 若 \( ac \equiv bc \pmod{m} \)，则 \( a \equiv b \pmod{\frac{m}{\gcd(c,m)}} \)
• C. 若 \( ac \equiv bc \pmod{m} \)，则 \( a \equiv b \pmod{m \times c} \)
• D. 消去律在任何情况下都成立

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✅ 正确答案：B

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题目4

若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，则下列哪个性质不一定成立？

• A. \( a + c \equiv b + c \pmod{m} \)
• B. \( a \times c \equiv b \times c \pmod{m} \)
• C. \( \gcd(a,m) = \gcd(b,m) \)
• D. 若 \( c \mid a \) 则 \( c \mid b \)

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✅ 正确答案：D

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题目5

已知 \( 15 \equiv 3 \pmod{12} \)，根据模数变换性质，以下哪个同余式成立？

• A. \( 15 \equiv 3 \pmod{4} \)
• B. \( 15 \equiv 3 \pmod{24} \)
• C. \( 15 \equiv 3 \pmod{36} \)
• D. \( 15 \equiv 3 \pmod{6} \)

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✅ 正确答案：A

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题目6

设 \( P(x) = 2x^2 + 3x + 1 \)，且 \( a \equiv b \pmod{5} \)，则：

• A. \( P(a) \equiv P(b) \pmod{5} \)
• B. \( P(a) \equiv P(b) \pmod{10} \)
• C. \( P(a) = P(b) \)
• D. \( P(a) \not\equiv P(b) \pmod{5} \)

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✅ 正确答案：A

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题目7

关于同余关系的等价类，以下说法正确的是：

• A. 模 \( m \) 的同余关系将整数集划分为 \( m-1 \) 个等价类
• B. 每个等价类中的元素除以 \( m \) 的余数都相同
• C. 不同等价类之间可能有交集
• D. 0 不属于任何等价类

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✅ 正确答案：B

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题目8

若 \( \gcd(a,m) = 1 \)，根据欧拉定理：

• A. \( a^m \equiv 1 \pmod{m} \)
• B. \( a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \)
• C. \( a^{m-1} \equiv 1 \pmod{m} \)
• D. \( a^{\gcd(a,m)} \equiv 1 \pmod{m} \)

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✅ 正确答案：B

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题目9

已知 \( 8 \equiv 2 \pmod{6} \)，则 \( \gcd(8,6) \) 与 \( \gcd(2,6) \) 的关系是：

• A. \( \gcd(8,6) > \gcd(2,6) \)
• B. \( \gcd(8,6) < \gcd(2,6) \)
• C. \( \gcd(8,6) = \gcd(2,6) \)
• D. 无法确定

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✅ 正确答案：C

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题目10

若 \( a \equiv b \pmod{m} \) 且 \( a \equiv b \pmod{n} \)，则根据模数合并性质：

• A. \( a \equiv b \pmod{m+n} \)
• B. \( a \equiv b \pmod{m \times n} \)
• C. \( a \equiv b \pmod{\gcd(m,n)} \)
• D. \( a \equiv b \pmod{\text{lcm}(m,n)} \)

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✅ 正确答案：D