常用反演公式

二项式反演

形式1

设 $ g_n $ 表示至多 $ n $ 种的方案数量，$ f_n $ 表示恰好 $ n $ 种的方案数量，则有：

\[g_n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} f_i \iff f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} g_i \]

形式2

设 $ g_k $ 表示至少 $ k $ 种的方案数量，$ f_k $ 表示恰好 $ k $ 种的方案数量，则有：

\[g_k = \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} f_i \iff f_k = \sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} \binom{i}{k} g_i \]

莫比乌斯反演

形式一

\[g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \Leftrightarrow f(n) = \sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) g(d) \]

形式二

\[\sum_{d \mid \gcd(i,j)} \mu(d) = [\gcd(i,j) = 1] \]

其中 \([\gcd(i,j) = 1]\) 是艾弗森括号，当 \(\gcd(i,j) = 1\) 时值为 1，否则为 0。