ARC081D Flip and Rectangles

Problem

ARC081D Flip and Rectangles

Analysis

正解思路

对于这类操作性质题目，有两个基本思考方向：

1. 操作顺序是否会影响答案。
2. 操作过程是否可以构造，进而思考构造的唯一性（充要条件）。

然后我们发现，操作顺序确实不会影响答案，那么操作过程是否可以被构造呢？

考虑如何判定是否能产生一个矩阵：发现当且仅当在原始矩阵中，每一行都与第一行相同或相反，因为列的翻转不影响列上格子的相对性。

那么将原矩阵相邻两行压缩为一行：\(a_{i,j}=[s_{i,j}==s_{i+1,j}]\)。

那么就说明，最大子矩形必然是每行尽可能向左右扩展。这是一个经典问题，有较多解法：悬线法等。

这里利用单调栈维护最高点 \(U_i\) 与最低点 \(D_i\)，以及向左能拓展的最远点 \(mx_i\)，答案就是 \((D_i-U_i+1+1)mx_i\)，这里最后一个的 \(+1\) 是代码实现中线段相邻格子进行压缩，计算时要解压。

注意，单独一行与一列可调控的最大面积为 \(n\) 和 \(m\)，需要与它们取 \(\max\)。

错因总结

我考虑到了操作顺序对答案是无影响的，但总拘泥于从正面做出矩形充要条件，有一瞬间想过从判定产生矩形的角度思考（即反面）。

然后一直在思考 dp，但实际证明 dp 确实不行，因为根本无法化简为子问题。

AC Code

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define ull unsigned long long 
#define i128 __int128
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
#define mk make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFx 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;

const int N = 2010;

int n, m;
char s[N][N];
int a[N][N];
int mx[N], u[N], d[N];
int stk[N], top;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            cin >> s[i][j];
        }
    }

    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        a[i][0] = -1;
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            a[i][j] = s[i][j] == s[i + 1][j];
        }
    }

    int ans = max(n, m);
    for (int j = 1; j <= m; j ++) {
        for (int i = 1; i < n; i ++) {
            if (a[i][j] == a[i][j - 1]) mx[i] ++;
            else mx[i] = 1;
        }

        top = 0;
        for (int i = 1; i < n; i ++) {
            while (top && mx[stk[top]] >= mx[i]) top --;
            u[i] = stk[top] + 1;
            stk[++ top] = i;
        }

        top = 0;
        stk[++ top] = n;
        for (int i = n - 1; i >= 1; i --) {
            while (top && mx[stk[top]] >= mx[i]) top --;
            d[i] = stk[top] - 1;
            stk[++ top] = i;
        }

        for (int i = 1; i < n; i ++) {
            ans = max(ans, (d[i] - u[i] + 2) * mx[i]);
        }
    }

    cout << ans << '\n';

    return 0;
}