鲜花：不会说明你有抑郁症4

求 \([2000]\) 的所有子集中，元素和是 \(5\) 的倍数的集合个数。

快进到求：

\[[x^{5k}]\prod_{i=1}^{2000}(1+x^i) \]

下记第 \(i\) 项系数为 \(a_i\)。

直接代入 \(x=w_5^0,w_5^1,w_5^2,w_5^3,w_5^4\)，发现：

\[\sum_{i=0}^4 f(w_5^i)=5\sum_{i=0,5|i}^{2000} a_{i}+\sum_{i=0}^4 w_{5}^i\sum_{i=0,5\not|i}^{2000} a_i \]

也就是说：

\[\sum_{i=0,5|i}^{2000} a_{i}=\frac{1}{5}\sum_{i=0}^4 f(w_5^i) \]

下求 \(\sum_{i=0}^4 f(w_5^i)\)。

\(f(w_{5}^0)\) 即 \(f(1)\) 是好求的，代入可得 \(f(1)=2^{2000}\)。

关于剩下的，发现代入展开发现它们是相等的，也即：

\[f(w_{5}^k)=[\prod_{i=0}^4(1+w_{5}^i)]^{400},k\in [1,4] \]

根据单位根定义，有：

\[x^5-1=\prod_{i=0}^{4}(x-w_5^i) \]

代入 \(x=-1\)，有：

\[\prod_{i=0}^4(1+w_{5}^i)=-2 \]

那就是：

\[f(w_{5}^k)=2^{400},k\in [1,4] \]

那么：

\[\sum_{i=0,5|i}^{2000} a_{i}=\dfrac{2^{2000}+4\times 2^{400}}{5} \]

没有色图。