鲜花：不会说明你有抑郁症1

已知均匀随机正实数 \(x,y,z\) 满足 \(x<y<z\) 且 \(x+y+z=1\)，求 \(x\) 的期望。

一眼枚举 \(y,z\) 求二重定积分，哎我咋算不对数。

设 \(f(k)\) 表示 满足 \(x+y+z=1\) 的无序三元组 \((x,y,z)\) 中，\(x,y,z\) 均 \(>k\) 的概率，根据期望线性性，有：

\[\text{E}=\int_{0}^{\frac{1}{3}} f(x) \text{d}x \]

下求 \(f(x)\)。

我们所求 \(f(k)\) 为满足 \(x+y+z=1\) 的无序三元组 \((x,y,z)\) 中，\(x,y,z\) 均 \(>k\) 的概率，即：满足 \(x+y+z=1-3k\) 的无序三元组中，\(x,y,z\) 均 \(>0\) 的概率。

关于这个问题，我们有一个组合意义：将一根长 \(1-3k\) 的木棍划分成三段，三段的长度为 \(x,y,z\)，那么容易得到 \(f(k)=(1-3k)^2\)。

带入原式，得：

\[\text{E}=\int_{0}^{\frac{1}{3}} (1-3x)^2\text{d}x=\frac{1}{9} \]

推广到 \(n\) 个变量时，容易得到期望为 \(\dfrac{1}{n^2}\)。

优雅！