题解：CF815D Karen and Cards

前言

有点困难题。

思路分析

考虑本质上是三维问题，考虑降维处理。

因为全部满足条件不好做，考虑正难则反，计算不合法的三元组个数。

首先对 \(a_i\) 排序，从大往小做扫描线，每次维护 \(b=i\) 时 \(c\) 的最大不合法值，那么对于每一个 \(a\)，不合法的三元组数量等于全局和。

最开始，对于每个限制 \((a_i,b_i,c_i)\)，设线段树维护的序列为 \(d\)，相当于 \(\max_{j=1}^{b_i} d_j\le c_i\)，因为只需要满足一个，所以在区间 \([1,b_i]\) 取 \(\max\) 即可。

每次扫到限制 \((a_i,b_i,c_i)\) 时，\([1,b_i]\) 的部分合法，而 \([b_i+1,q]\) 的部分需要满足 \(\max_{j=b_i+1}^{q} d_j \le c_i\)，相当于两次区间取 \(\max\)。

为了区间取 \(\max\) 写 seg_beat 肯定不值当，注意到我们维护的序列 \(d\) 是有单调性的，所以直接线段树二分 + 区间推平就行。

总体复杂度 \(O(v \log (n+v))\)。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,p,q,r,ans,now,minb[500005],minc[500005],d[500005];
struct node{
	int a,b,c;
}h[500005];
int val_sum[1000005],val_min[1000005],tag[1000005],ls[1000005],rs[1000005],dcnt,rt;
void pushup(int x){
	val_sum[x]=val_sum[ls[x]]+val_sum[rs[x]];
	val_min[x]=min(val_min[ls[x]],val_min[rs[x]]);
}
void pushdown(int l,int r,int x){
	if(!tag[x]) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	tag[ls[x]]=tag[rs[x]]=val_min[ls[x]]=val_min[rs[x]]=tag[x];
	val_sum[ls[x]]=(mid-l+1)*tag[x];
	val_sum[rs[x]]=(r-mid)*tag[x];
	tag[x]=0;
}
void build(int l,int r,int &x){
	x=++dcnt;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,ls[x]);
	build(mid+1,r,rs[x]);
	pushup(x);
}
void modify(int l,int r,int ql,int qr,int k,int x){
	if(ql<=l && r<=qr){
		val_min[x]=tag[x]=k;
		val_sum[x]=(r-l+1)*k;
		return;
	}
	pushdown(l,r,x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) modify(l,mid,ql,qr,k,ls[x]);
	if(qr>=mid+1) modify(mid+1,r,ql,qr,k,rs[x]);
	pushup(x);
}
int findl(int l,int r,int ql,int qr,int k,int x){
	if(l==r){
		if(val_min[x]>k) return -1;
		else return l;
	}
	pushdown(l,r,x);
	int mid=(l+r)>>1,ans=-1;
	if(ql<=mid){
		if(val_min[ls[x]]<=k) ans=findl(l,mid,ql,qr,k,ls[x]);
		if(ans!=-1) return ans;
	}
	if(qr>=mid+1){
		if(val_min[rs[x]]<=k) ans=findl(mid+1,r,ql,qr,k,rs[x]);
		if(ans!=-1) return ans;
	}
	return ans;
}
void add(int l,int r,int k){
	int p=findl(1,q,l,r,k,rt);
	if(p!=-1) modify(1,q,p,r,k,rt);
}
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		add(1,h[i].b,h[i].c);
	}
}

bool cmp(node a,node b){
	return a.a<b.a;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>p>>q>>r;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i].a>>h[i].b>>h[i].c;
	}
	sort(h+1,h+1+n,cmp);
	build(1,q,rt);
	init();
	now=n;
	for(int i=p;i>=1;i--){
		while(now && h[now].a>=i){
			add(h[now].b+1,q,h[now].c);
			add(1,h[now].b,r);
			now--;
		}
		ans+=val_sum[1];
	}
	cout<<p*q*r-ans;
	return 0;
}