牛客挑战赛57总结

T1

正解应该是用桶存一下每个数，枚举 gcd 判断桶内是否有 \(n\) 个数是其倍数。
由于 \(a_i\) 和 \(a_i+1\) 是互质的，所以一个数不会在同一个 gcd 处统计两次，保证了答案的正确性。
注意此时值域是 \(10^6+1\) 的。
然而这题好多水法可以过。。。数据是真的水。

T2

一眼看去真的不会做QwQ绝对不是我不认真打比赛。
最终还是找规律的……非完全归纳法永远的神！
结论是：先找出最大的 \(2^k \le nm\) ，第一问答案一定是 \(2^{k+1}-1\) 。但凡打个表都知道

1. 如果 \(2^k\) 不在行首，那么它左侧一定有 \(2^k-1\) ，就取这两个。
2. 否则， \(m\) 一定是奇数，取该行和上一行的中间项。

实际上，第二种情况是 \((2^k + a-1) xor (2^{k} -a) = (2^k + a-1) + (2^{k} -a)=2^{k+1}-1\)，
即二者没有交，前者是 \(2^k\) 加上 \(a-1\) ，在 \(0\) 上添加了若干 \(1\)，后者是 \(2^k-1\) 减去 \(a-1\) ，在一堆 \(1\) 里扣掉了几个。

T3

直接树剖啦不讲。

T4

比赛还有几分钟的时候想出来了，没有时间写QAQ
先找出直径的中点（可以是一条边的中点），设为 \(S\)。

Def 定义距离中点 \(S\) 距离为 \(k\) 的点为 \(k\) 阶点。（\(k\) 可以是实数）

Lemma：第一次走到 \(k\) 阶点，且两人都没有踏上过 \(\ge k\) 阶点，必败。

使用数学归纳法，若是直径端点显然成立，另一人只需走直径，他就无路可走。
否则，此时另一人可以同样走到 \(k\) 阶点，那么他也不能再走到 \(\le k\) 阶点，而走到 $ > k$ 阶点的情况由归纳假设知必败。

能力所限就只能写到这里啦