摘要：最近在书上看到了这样一道题。 （2010年高联一试）已知函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a \not = 0)$, 当 $0 \le x \le 1$ 时，$|f'(x)| \le 1$ ，试求 $a$ 的最大值。 解答： $f'(x) = 3ax^2 + 2bx 阅读全文

摘要：先看个题 若实数 $a,b,c,d$ 满足 $a \ge c \ge b \ge d > 0$, 则 $S=\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{d}{c+d} + \frac{a}{d+a}$ 的取值范围是？ 解答过程： 先求上界， $$ \begin{ali 阅读全文

摘要：Introduction 笔者最近在《初等数论及其应用》上看到了这样一个题： 求所有满足 \(p^a - q^b = 1\) 的 \(p,q,a,b\) ，其中 \(p,q\) 是素数，\(a , b > 1\) 并证明其答案的正确性。 经询问学长及查阅资料发现，该问题若去掉素数的限制就是卡特兰猜想 阅读全文

摘要：前言 最近，笔者在一道 OI 题的 Hint 里看到了这样一个定理： 费马平方和定理：一个奇素数能被表成两个平方数之和，当且仅当它是 模4余1 型素数。 网上的几个证法看了之后写下这篇笔记。 法一：构造 核心：证明方程 \(4xy+z^2=p\) 在 \(p\) 是模4余1型素数时，必有 \(x=y 阅读全文