F. Pairwise Modulo——(Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2))

F. Pairwise Modulo

题意

给出一个长度为$n$的排列$a$，定义

$$p_k = \sum_{1 \leq i,j \leq k} a_i\ mod\ a_j$$

要求输出$p_1, \cdots, p_n$。

思路

这里暴力取模运算明显会$T$，因此将取模运算化为：$a_i\ mod\ a_j = a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j$，并且将$i$和$j$确定顺序，这样$p$序列就有了递推的性质，即

$$p_k = \sum_{1 \leq j \le i \le k} a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j + \sum_{1 \le i \le j \le k}a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j$$

另$f_k = \sum_{1 \leq j < i \le k} a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j, g_k = \sum_{1 \le i < j \le k}a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j$。
对于$f_k$，$f_k = f_{k-1} + \sum_{1 \le j < k} a_k - \lfloor \frac{a_k} {a_j} \rfloor a_j = f_{k-1} + a[k] * (k - 1) - \sum_{1\le j<k}\lfloor \frac{a_k} {a_j} \rfloor a_j$，
对于$\sum_{1\le j<k}\lfloor \frac{a_k} {a_j} \rfloor a_j$这一项，我们可以使用树状数组维护，
当$a_k \in [a_j,2*a_j-1]$，贡献为$a_j$,
当$a_k \in [2*a_j, 3*a_j-1]$，贡献为$2*a_j$
$\cdots$
所以我们使用树状数组进行区间维护差分即可，对于区间$[ia_k,(i+1)a_k-1]$，在$ia_k$处增加$i*a_k$，在$(i+1)*a_k$处减去$i*a_k$。对于第$k$项直接$query(a_k)$求前缀和即可。

对于$g_k = \sum_{1 \le i < j \le k}a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_j} \rfloor a_j = f_{k-1} + \sum_{1 \le i < k}a_i - \lfloor \frac{a_i} {a_k} \rfloor a_k = f_{k-1} + \sum_{1 \le i < k}a_i - \sum_{1 \le i < k}\lfloor \frac{a_i} {a_k} \rfloor a_k$，
$\sum_{1 \le i < k}a_i$ 直接累计计算即可，而后面的一项则需要使用树状数组维护，因为：
对于$a_i \in [a_k,2*a_k-1]$，$\lfloor \frac{a_i} {a_k} \rfloor$的值为$1$,
对于$a_i \in [2*a_k,3*a_k-1]$，$\lfloor \frac{a_i} {a_k} \rfloor$的值为$2$,
$\cdots$
可以对这个排列建立树状数组维护其有没有出现($1或者0$)，然后遍历$a[k]$的倍数区间查询即可得到答案，这个复杂度为$logn$，可以接受。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qc ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
#define pb push_back
#define V vector
using namespace std;
const int N = 3e5 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int a[N];
struct Tree{
    ll c[N];
    void add(int x,ll y){
        for(;x < N; x += x&-x){
            c[x] += y;
        }
    }
    ll query(int x){
        if(x < 0)
            return 0ll;
        ll ans = 0;
        for(;x > 0;x -= x&-x)
            ans += c[x];
        return ans;
    }
    ll ask(int x,int y){
        return query(y) - query(x - 1);
    }
}A,B;
void solve(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    ll sum = 0,ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum += a[i];
        ans += (ll)a[i] * (i - 1);
        ans += sum - a[i];
        ans -= A.query(a[i]);
        for(int j = a[i]; j < N; j += a[i]){
            int l = j, r = min(N - 2, l + a[i] - 1);
            ans -= B.ask(l, r) * j;
            A.add(l, l);
            A.add(r + 1, -l);
        }
        B.add(a[i],1);
        printf("%lld ",ans);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
	#ifdef ONLINE_JUDGE
	#else
		freopen("in.txt", "r", stdin);
		freopen("out.txt", "w", stdout);
	#endif

	int T = 1;
	// scanf("%d",&T);
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}