学习报告-论对“解向量线性关系的不同方法”的新理解

学习报告-论对“解向量线性关系的不同方法”的新理解

线性关系分为线性相关和线性无关两种，解向量之间的线性关系，就是确定这个向量的一个最大子集，使得这个子集中的向量线性无关。

容易证明，这个子集的 \(size\) 是一定的，因为从高斯消元的角度来看，主元和自由元的个数是一定的。

但是我们要求这个子集（或这个子集的某种性质）的时候，真的就是用高斯消元吗？不是的，反之，高斯消元的局限性是很大的。比如我们已经对一些向量按照其权值排好了序，我们来执行高斯消元，如果我们是一个主元一个主元来进行消元，很可能我们已经排好的序就会被一次次 \(\texttt{swap}\) 打乱，而如果我们直接按照排序顺序强行消元，那么高斯消元本身这个算法就被打乱了。

这个时候，我们就需要一种方法，使其能按照我们排好的序一个个把向量加入集合中。因为子集 \(size\) 一定，不会多也不会少，所以这样做求出的答案一定是最优的。这个方法就是贪心。

贪心地一个个往集合中加入向量，如果每个向量有一个有值的主元没有被前面的向量覆盖，那么这个向量就可以加入集合中；否则这个向量被对应的主元消元。这样看来，贪心和高斯消元其实是一个东西。

那么为什么我们说高斯消元的局限性大？因为高斯消元原算法是一个主元一个主元来的，默认可以把所有向量全部加入集合中；但是贪心不一样，它可以按照我们指定的的任意顺序一个一个加入向量，再加上其运用了高斯消元里“消元”的思想，可以认为贪心是高斯消元的完全上位替代，所以大多数人更喜欢贪心。

额，那么高斯消元的好处在哪里呢？估计只有美学价值了。不得不说，高斯消元看起来确实比贪心好看一点点。