解题报告-论对“整体计数”的新理解

解题报告-论对“整体计数”的新理解

这道题是一个整体计数的例子。

本题中，我们不能在序列上设置任何的状态，因为只有选完了 \(1\sim n\) 的所有数，方案才是合法的，除非我们设置状态为 \(f_{l,r,S}\) 为区间 \(l,r\) 中已经选的集合为 \(S\) 的合法方案数。当然这是 \(O(n^22^n)\) 的。

所以我们来一步一步转化这个问题。开始的时候，我把这个问题反过来想，因为选取所有卡片总是合法的，所以我们要删去一些卡片。再反过来，删去卡片什么时候不合法？就是把写有同一个数字的一张或两张卡片全删了。那么我们向写有同一个数字的两张卡片连边，把原题转化为一个个连通块。

提取关键词：连通块。既然我们无法在序列上 \(dp\)，那为何不在连通块上做呢？而且，我们可以剖析一下为什么这个计数是“整体”的，那不就是因为它有依赖关系吗？依赖关系不就是连通块吗？

那么我们来到下一步。我们观察到，在这道题中一个点度数最多为 \(2\)，所以最后炼成的连通块一定是一个点，两个点，或者一个环。对于一个点，删除的方案数只能是 \(1\)，也即不删；对于两个点方案数是 \(3\)。

对于一个环呢？假设我们已经选定了一个点 \(A\) 要删去，那么与 \(A\) 相邻的两个点 \(B,C\) 是不能删去了，把这三个点和为一个点，一个空点，那么 \(f_i\) 由 \(f_{i-2}\) 转移过来。

那么要是 \(A\) 不被删去呢？\(B\) 和 \(C\) 可以任意选择是否被删去，再把 \(A\) 和 \(B\) 合在一起，就是一个 \(n-1\) 元环了，所以 \(f_i\) 也由 \(f_{i-1}\) 转移而来。

提取关键词：连通块上的状态转移。

综上所述：整体计数有两个关键点，第一个是要把一条条限制关系转化为连通块，第二个是要对连通块的大小进行 \(dp\)。为什么是连通块的大小？就像本题一样，大多数整体计数题都只有给定条限定关系，所以确定了连通块的大小基本就确定了连通块的形态。